齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 3 kW、960 rpm 的电动机驱动一个 1 头的蜗杆。蜗轮有 30 个齿，传动效率为 70%。求蜗轮轴上的输出转矩 Tw。
z = 1Nw = 30n = 960 rpmP = 3 kWη = 70%
Tw = N·m
2.齿轮与齿轮系困难
一台 11 kW、960 rpm 的电动机驱动齿轮 A（30 齿），A 与齿轮 B（80 齿）啮合。与 B 同轴的齿轮 C（12 齿）驱动输出轴上的齿轮 D（20 齿）。每对齿轮啮合的效率为 95%。求输出转矩 Tout。
P = 11 kWnin = 960 rpmA = 30B = 80C = 12D = 20ηmesh = 95%
Tout = N·m
3.轴的扭转中等
一根黄铜实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 750 N·md = 50 mmL = 2 mG = 39 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根空心轴须在 1800 rpm 下传递 100 kW。 其内径为外径的 0.7 倍，切应力不得超过 75 MPa。求最小外径 do。
P = 100 kWN = 1800 rpmdi/do = 0.7τallow = 75 MPa
do = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 100 MPa，σᵧ = 40 MPa，τₓᵧ = −20 MPa，σz = 0。求该点的绝对最大切应力 τabs（考虑三维中所有平面）。
σx = 100 MPaσy = 40 MPaτxy = −20 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 70 MPa，σᵧ = −20 MPa，τₓᵧ = −60 MPa（σz = 0）。 求冯·米塞斯等效应力 σvM。
σx = 70 MPaσy = −20 MPaτxy = −60 MPa
σvM = MPa
7.轴向应力与应变中等
求铝杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 25 kNd = 16 mmL = 1 mE = 70 GPa
ε = µε
8.轴向应力与应变困难
一段钢（直径 20 mm，长 600 mm，E = 200 GPa）与一段青铜（直径 50 mm，长 400 mm，E = 110 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 40 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。
第 1 段: 钢, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPa第 2 段: 青铜, Ø50 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 40 kN
σ2 = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)d = 50 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，两端固定。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)d = 40 mm
σcr = MPa
11.机械振动中等
在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 25 mm 之后 3 个周期出现峰值 3.8 mm。 求阻尼比 ζ。
x0 = 25 mmx3 = 3.8 mmn = 3
ζ =
12.机械振动困难
一个 50 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 15 kN/m 和 k₂ = 50 kN/m。质量块保持水平。 忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 50 kgk1 = 15 kN/mk2 = 50 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: Tw = 626.7 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
蜗轮转速
nw = n·z/Nw = 960·1/30 = 32 rpm
输出扭矩
ωw = 2π·32/60 = 3.351 rad/s
Tw = η·P/ωw = 0.7·3000/3.351 = 626.7 N·m
答案
Tw = 626.7 N·m
2.齿轮与齿轮系
答案: Tout = 438.9 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
输出转速
nout = 960·(30/80)·(12/20) = 216 rpm
ωout = 2π·216/60 = 22.62 rad/s
输出功率和转矩
Pout = 11000·0.95² = 9928 W
Tout = Pout/ωout = 9928/22.62 = 438.9 N·m
答案
Tout = 438.9 N·m
3.轴的扭转
答案: φ = 3.591 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 750·1000·2000/(39000·613592) = 0.06268 rad
φ = 0.06268·180/π = 3.591°
答案
φ = 3.591°
4.轴的扭转
答案: do = 36.19 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 100000/188.5 = 530.5 N·m
由容许应力求外径
T = 530.5 N·m = 530516 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·530516/(π·75·0.7599)) = 36.19 mm
di = 0.7·36.19 = 25.33 mm
答案
do = 36.19 mm
实心轴需要 d = 33.03 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。
5.莫尔圆与应力变换
答案: τabs = 53.03 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 在三维中，绝对最大切应力为三个主应力中 (σmax − σmin)/2；平面应力状态下第三个主应力为零。
面内主应力
C = 70 MPa, R = √(30² + (−20)²) = 36.06 MPa
σ1 = 106.1 MPa, σ2 = 33.94 MPa, σz = 0
三个圆中最大的
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(72.11, 106.1, 33.94)/2 = 53.03 MPa
答案
τabs = 53.03 MPa
这里由面外的圆控制：绝对最大值大于面内最大值 R。
6.莫尔圆与应力变换
答案: σvM = 132.3 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。
主应力
C = 25 MPa, R = 75 MPa
σ1 = 100 MPa, σ2 = −50 MPa, σ3 = 0
冯·米塞斯
σvM = √(100² − 100·(−50) + (−50)²) = 132.3 MPa
答案
σvM = 132.3 MPa
7.轴向应力与应变
答案: ε = 1776 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 25·1000/201.1 = 124.3 MPa
应变（胡克定律）
E for 铝 = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 124.3/70000 = 0.001776 = 1776 µε
答案
ε = 1776 µε
8.轴向应力与应变
答案: σ2 = 17.06 MPa
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
刚度
k₁ = 200000·314.2/600 = 104720 N/mm
k₂ = 110000·1963/400 = 539961 N/mm
第 2 段的份额
F2 = 40000·539961/644681 = 33503 N
应力
σ2 = 33503/1963 = 17.06 MPa （压缩）
答案
σ2 = 17.06 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 69.21 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/1750² = 69210 N = 69.21 kN
答案
Pcr = 69.21 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 44.22 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
回转半径和长细比
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
KL/r = 1250/10 = 125
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/125² = 44.22 MPa
答案
σcr = 44.22 MPa
11.机械振动
答案: ζ = 0.09945
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
对数衰减率
δ = (1/3)·ln(25/3.8) = 0.628
阻尼比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.628/√(39.48 + 0.3943) = 0.09945
答案
ζ = 0.09945
12.机械振动
答案: fn = 5.738 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k1 + k2。
keq = 15 + 50 = 65 kN/m
固有频率
ωn = √(65000/50) = 36.06 rad/s
fn = 36.06/(2π) = 5.738 Hz
答案
fn = 5.738 Hz
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