齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
两根平行轴相距 84 mm。须用一对模数为 3 mm、减速比为 2.5 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。 大齿轮须有多少个齿 N2？
a = 84 mmm = 3 mmi = 2.5
N2 =
2.齿轮与齿轮系困难
一条开口皮带连接一个 120 mm 的带轮和一个 500 mm 的带轮，二者中心相距 600 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。
d1 = 120 mmd2 = 500 mmC = 600 mm
θ = °
3.轴的扭转中等
一根空心铝轴（外径 30 mm，内径 15 mm，长 2 m）一端固定，另一端受 400 N·m 的扭矩作用。求扭转角 φ，以度表示。
T = 400 N·mdo = 30 mmdi = 15 mmL = 2 mG = 26 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根实心轴需在 1500 rpm 下传递 10 kW，且切应力不超过 40 MPa。求满足要求的最小直径 d。
P = 10 kWN = 1500 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = 120 MPa、σᵧ = −10 MPa、τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。求从 x 轴到某平面法线的角度 θs（在 −90° 到 90° 之间），该平面上的切应力达到最大正值 +R（切应力与 τₓᵧ 同向为正）。
σx = 120 MPaσy = −10 MPaτxy = 30 MPa
θs = °
6.莫尔圆与应力变换困难
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 90 MPa，σᵧ = −80 MPa，τₓᵧ = −10 MPa（σz = 0）。 材料的屈服强度为 350 MPa。按冯·米塞斯（畸变能）准则求防止屈服的安全系数 n。
σx = 90 MPaσy = −80 MPaτxy = −10 MPaσY = 350 MPa
n =
7.轴向应力与应变中等
求铝杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 60 kNd = 12 mmL = 2.5 mE = 70 GPa
ε = µε
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 45 kN第 1 段：Ø35 mm，1 m，铜（E = 117 GPa）第 2 段：Ø20 mm，2 m，钢（E = 200 GPa）
δ = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2 mE = 200 GPa (钢)d = 60 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 4 mE = 70 GPa (铝)d = 80 mm
σcr = MPa
11.机械振动中等
一个 40 kg 的质量块挂在刚度为 25 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.3。求其自由振动的有阻尼固有频率 fd，以 Hz 计。
m = 40 kgk = 25 kN/mζ = 0.3
fd = Hz
12.机械振动困难
一个 10 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 80 kN/m，下弹簧 k₂ = 25 kN/m。 忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 10 kgk1 = 80 kN/mk2 = 25 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: N2 = 40
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
总齿数
N1 + N2 = 2a/m = 2·84/3 = 56
按传动比分配
N1 = 56/(1 + 2.5) = 16
N2 = 2.5·16 = 40
答案
N2 = 40
2.齿轮与齿轮系
答案: θ = 143.1 °
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
皮带角
asin(0.3167) = 18.46°
包角
θ = 180 − 2·18.46 = 143.1°
答案
θ = 143.1°
3.轴的扭转
答案: φ = 23.65 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π(30⁴ − 15⁴)/32 = 74551 mm⁴
扭转角
T = 400 N·m = 400000 N·mm
L = 2 m = 2000 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = TL/(GJ) = 400000·2000/(26000·74551) = 0.4127 rad
φ = 0.4127·180/π = 23.65°
答案
φ = 23.65°
4.轴的扭转
答案: d = 20.09 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 10000/157.1 = 63.66 N·m
由许用应力求直径
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·63662/(π·40)) = 20.09 mm
答案
d = 20.09 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
5.莫尔圆与应力变换
答案: θs = −32.61 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，最高点 (+R) 与主应力点 σ₁ 相差 90°；在单元体上为 45°。
cos 2θs = 30/71.59 = 0.4191, sin 2θs = −65/71.59 = −0.908
2θs = atan2(−65, 30) = −65.22°
单元体上的角度
θs = −32.61°
校核: θs − θp = −32.61 − 12.39 = −45°
答案
θs = −32.61°
逆时针方向的角度为正。
6.莫尔圆与应力变换
答案: n = 2.36
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。
主应力
C = 5 MPa, R = 85.59 MPa
σ1 = 90.59 MPa, σ2 = −80.59 MPa, σ3 = 0
冯·米塞斯
σvM = √(90.59² − 90.59·(−80.59) + (−80.59)²) = 148.3 MPa
n = 350/148.3 = 2.36
答案
n = 2.36
n > 1 表示该点不屈服；特雷斯卡准则比冯·米塞斯准则稍保守。
7.轴向应力与应变
答案: ε = 7579 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 60·1000/113.1 = 530.5 MPa
应变（胡克定律）
E for 铝 = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 530.5/70000 = 0.007579 = 7579 µε
答案
ε = 7579 µε
8.轴向应力与应变
答案: δ = 1.832 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 46.77 MPa
σ2 = 143.2 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 46.77·1000/117000 = 0.3998 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 143.2·2000/200000 = 1.432 mm
δ = δ1 + δ2 = 1.832 mm
答案
δ = 1.832 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 78.48 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
计算长度
KL = 2·2000 = 4000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/4000² = 78485 N = 78.48 kN
答案
Pcr = 78.48 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 17.27 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
回转半径和长细比
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 1·4000 = 4000 mm
KL/r = 4000/20 = 200
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17.27 MPa
答案
σcr = 17.27 MPa
11.机械振动
答案: fd = 3.796 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
无阻尼固有频率
ωn = √(25000/40) = 25 rad/s
fn = 25/(2π) = 3.979 Hz
有阻尼固有频率
fd = fn·√(1 − ζ²) = 3.979·√(1 − 0.3²) = 3.796 Hz
答案
fd = 3.796 Hz
12.机械振动
答案: fn = 6.946 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/80 + 1/25 → keq = 80·25/(80 + 25) = 19.05 kN/m
固有频率
ωn = √(19048/10) = 43.64 rad/s
fn = 43.64/(2π) = 6.946 Hz
答案
fn = 6.946 Hz
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