齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 3 kW 的电动机以 1500 rpm 运转，驱动一个齿数为 16 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 60 的大齿轮啮合。 该齿轮副的效率为 98%。 求电动机轴上的扭矩 T1。
P = 3 kWn1 = 1500 rpmN1 = 16N2 = 60η = 98%
T1 = N·m
2.齿轮与齿轮系困难
一条开口皮带连接一个 100 mm 的带轮和一个 315 mm 的带轮，二者中心相距 500 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。
d1 = 100 mmd2 = 315 mmC = 500 mm
θ = °
3.轴的扭转中等
一根空心铝轴（外径 75 mm，内径 53 mm，长 1 m）一端固定，另一端受 1000 N·m 的扭矩作用。求扭转角 φ，以度表示。
T = 1000 N·mdo = 75 mmdi = 53 mmL = 1 mG = 26 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根空心轴在 3000 rpm 下传递 100 kW。求轴中的最大切应力 τmax。
P = 100 kWN = 3000 rpmdo = 40 mmdi = 24 mm
τmax = MPa
5.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 60 MPa，σᵧ = −80 MPa，τₓᵧ = 60 MPa（拉为正）。 求面内最大切应力 τmax。
σx = 60 MPaσy = −80 MPaτxy = 60 MPa
τmax = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = −50 MPa，σᵧ = 40 MPa，τₓᵧ = 20 MPa（σz = 0）。 材料的屈服强度为 460 MPa。按特雷斯卡（最大切应力）准则求防止屈服的安全系数 n。
σx = −50 MPaσy = 40 MPaτxy = 20 MPaσY = 460 MPa
n =
7.轴向应力与应变中等
求黄铜杆在轴向荷载下的伸长量 δ。
P = 65 kNd = 16 mmL = 2.5 mE = 100 GPa
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 90 kN第 1 段：Ø30 mm，2 m，铜（E = 117 GPa）第 2 段：Ø16 mm，1.5 m，黄铜（E = 100 GPa）
σmax = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 3 mE = 70 GPa (铝)d = 60 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，两端固定。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 2 mE = 200 GPa (钢)d = 30 mm
σcr = MPa
11.机械振动中等
一个 80 kg 的质量块由刚度为 25 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 850 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。
m = 80 kgk = 25 kN/mc = 850 N·s/m
ζ =
12.机械振动困难
一个 50 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 30 kN/m，下弹簧 k₂ = 20 kN/m。 忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 50 kgk1 = 30 kN/mk2 = 20 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: T1 = 19.1 N·m
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
电动机扭矩
ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 3000/157.1 = 19.1 N·m
答案
T1 = 19.1 N·m
2.齿轮与齿轮系
答案: θ = 155.2 °
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
皮带角
asin(0.215) = 12.42°
包角
θ = 180 − 2·12.42 = 155.2°
答案
θ = 155.2°
3.轴的扭转
答案: φ = 0.9451 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π(75⁴ − 53⁴)/32 = 2.332 × 10⁶ mm⁴
扭转角
T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 1 m = 1000 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·1000/(26000·2.332 × 10⁶) = 0.0165 rad
φ = 0.0165·180/π = 0.9451°
答案
φ = 0.9451°
4.轴的扭转
答案: τmax = 29.1 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 100000/314.2 = 318.3 N·m
极惯性矩
J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴
最大切应力
τmax = T·(do/2)/J = 318310·20/218755 = 29.1 MPa
答案
τmax = 29.1 MPa
5.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 92.2 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
莫尔圆半径
τmax = R = √(((60 − −80)/2)² + 60²) = 92.2 MPa
答案
τmax = 92.2 MPa
6.莫尔圆与应力变换
答案: n = 4.671
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。
主应力
C = −5 MPa, R = 49.24 MPa
σ1 = 44.24 MPa, σ2 = −54.24 MPa, σ3 = 0
特雷斯卡
σmax − σmin = 98.49 MPa
n = 460/98.49 = 4.671
答案
n = 4.671
n > 1 表示该点不屈服；特雷斯卡准则比冯·米塞斯准则稍保守。
7.轴向应力与应变
答案: δ = 8.082 mm
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 65·1000/201.1 = 323.3 MPa
应变（胡克定律）
E for 黄铜 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 323.3/100000 = 0.003233 = 3233 µε
伸长量
δ = ε·L = 0.003233·2500 mm = 8.082 mm
答案
δ = 8.082 mm
8.轴向应力与应变
答案: σmax = 447.6 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 127.3 MPa
σ2 = 447.6 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 447.6 MPa
答案
σmax = 447.6 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 48.83 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
计算长度
KL = 1·3000 = 3000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/3000² = 48835 N = 48.83 kN
答案
Pcr = 48.83 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 111 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
回转半径和长细比
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.5·2000 = 1000 mm
KL/r = 1000/7.5 = 133.3
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/133.3² = 111 MPa
答案
σcr = 111 MPa
11.机械振动
答案: ζ = 0.3005
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
临界阻尼
cc = 2·√(k·m) = 2·√(25000·80) = 2828 N·s/m
阻尼比
ζ = c/cc = 850/2828 = 0.3005
答案
ζ = 0.3005
ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。
12.机械振动
答案: fn = 2.466 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/30 + 1/20 → keq = 30·20/(30 + 20) = 12 kN/m
固有频率
ωn = √(12000/50) = 15.49 rad/s
fn = 15.49/(2π) = 2.466 Hz
答案
fn = 2.466 Hz
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