齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 1.5 kW、转速 1440 rpm 的电动机驱动一个齿数为 16、模数为 4 mm 的小齿轮。求小齿轮齿上的切向力 Ft。
P = 1.5 kWn = 1440 rpmN1 = 16m = 4 mm
Ft = N
2.齿轮与齿轮系困难
一条开口皮带把一个以 960 rpm 转动、直径 200 mm 的主动轮与一个 300 mm 的带轮相连；中心距为 800 mm。摩擦系数为 0.35，紧边张力不得超过 1500 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。
d1 = 200 mmn1 = 960 rpmd2 = 300 mmC = 800 mmμ = 0.35T1 = 1500 N
P = kW
3.轴的扭转中等
一根空心黄铜轴（外径 50 mm，内径 30 mm，长 1.2 m）一端固定，另一端受 1500 N·m 的扭矩作用。求扭转角 φ，以度表示。
T = 1500 N·mdo = 50 mmdi = 30 mmL = 1.2 mG = 39 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根直径 50 mm 的实心钢轴在 A 端固定。距 A 0.5 m 的 B 处作用 1000 N·m 的扭矩，再往前 3 m 的自由端 C 处作用一个反向的 400 N·m 扭矩。 求端部 C 扭转角 φC 的大小，以度表示。
d = 50 mmTB = 1000 N·mTC = 400 N·mAB = 0.5 mBC = 3 mG = 80 GPa
φC = °
5.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = 160 MPa、σᵧ = −30 MPa、τₓᵧ = −40 MPa（拉为正）。求从 x 轴到某平面法线的角度 θs（在 −90° 到 90° 之间），该平面上的切应力达到最大正值 +R（切应力与 τₓᵧ 同向为正）。
σx = 160 MPaσy = −30 MPaτxy = −40 MPa
θs = °
6.莫尔圆与应力变换困难
一根直径 40 mm 的实心轴承受1000 N·m 的弯矩，同时承受 750 N·m 的扭矩。 在弯曲应力为拉应力且最大的上表面处， 求最大主应力 σ1。
d = 40 mmM = 1000 N·mT = 750 N·m
σ1 = MPa
7.轴向应力与应变中等
一根钢杆（直径 30 mm，E = 200 GPa）放在一根铝管（外径 120 mm，内径 50 mm，E = 70 GPa）内。二者长度均为 600 mm，在刚性板之间被 100 kN 的力一起压缩。 求缩短量 δ。
P = 100 kN杆: Ø30 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 600 mm
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
一段钢（直径 20 mm，长 400 mm，E = 200 GPa）与一段黄铜（直径 30 mm，长 500 mm，E = 100 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 80 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。
第 1 段: 钢, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPa第 2 段: 黄铜, Ø30 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 80 kN
σ2 = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 20 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)d = 60 mm
σcr = MPa
11.机械振动中等
一个 100 kg 的质量块挂在刚度为 200 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.45。求其自由振动的有阻尼固有频率 fd，以 Hz 计。
m = 100 kgk = 200 kN/mζ = 0.45
fd = Hz
12.机械振动困难
一个 25 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 50 kN/m，下弹簧 k₂ = 20 kN/m。 忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 25 kgk1 = 50 kN/mk2 = 20 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: Ft = 310.8 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
小齿轮上的转矩
ω = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s
T = P/ω = 1500/150.8 = 9.947 N·m
分度圆直径
d = m·N = 4·16 = 64 mm
切向力
Ft = 2T/d = 2·9.947/0.064 = 310.8 N
答案
Ft = 310.8 N
2.齿轮与齿轮系
答案: P = 9.833 kW
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
包角
θ = 3.017 rad
松边张力
eμθ = e1.056 = 2.874, T₂ = 1500/2.874 = 521.9 N
功率
P = (1500 − 521.9)·10.05 = 9.833 kW
答案
P = 9.833 kW
3.轴的扭转
答案: φ = 4.951 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴
扭转角
T = 1500 N·m = 1.5 × 10⁶ N·mm
L = 1.2 m = 1200 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 1.5 × 10⁶·1200/(39000·534071) = 0.08642 rad
φ = 0.08642·180/π = 4.951°
答案
φ = 4.951°
4.轴的扭转
答案: φC = 1.05 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
内扭矩
取 TC 的转向为正。
TBC = TC = 400 N·m
TAB = TC − TB = 400 − 1000 = −600 N·m
各段的扭转角
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = −600000·500/(80000·613592) = −0.006112 rad
φBC = 400000·3000/(80000·613592) = 0.02445 rad
端部 C 的扭转角
φC = −0.006112 + 0.02445 = 0.01833 rad → |φC| = 1.05°
答案
φC = 1.05°
5.莫尔圆与应力变换
答案: θs = −56.42 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，最高点 (+R) 与主应力点 σ₁ 相差 90°；在单元体上为 45°。
cos 2θs = −40/103.1 = −0.3881, sin 2θs = −95/103.1 = −0.9216
2θs = atan2(−95, −40) = −112.8°
单元体上的角度
θs = −56.42°
校核: θs − θp = −56.42 − (−11.42) = −45°
答案
θs = −56.42°
逆时针方向的角度为正。
6.莫尔圆与应力变换
答案: σ1 = 179 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
表面处的应力
σ = 32M/(πd³) = 32·1000000/(π·40³) = 159.2 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·40³) = 59.68 MPa
莫尔圆
C = σ/2 = 79.58 MPa
R = √(79.58² + 59.68²) = 99.47 MPa
σ1 = C + R = 179 MPa
σ2 = C − R = −19.89 MPa
答案
σ1 = 179 MPa
7.轴向应力与应变
答案: δ = 0.07541 mm
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·706.9 + 70·10³·9346 = 7.956 × 10⁸ N
缩短量
δ = 100000·600/7.956 × 10⁸ = 0.07541 mm
答案
δ = 0.07541 mm
8.轴向应力与应变
答案: σ2 = 53.61 MPa
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
刚度
k₁ = 200000·314.2/400 = 157080 N/mm
k₂ = 100000·706.9/500 = 141372 N/mm
第 2 段的份额
F2 = 80000·141372/298451 = 37895 N
应力
σ2 = 37895/706.9 = 53.61 MPa （压缩）
答案
σ2 = 53.61 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 58.49 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴
计算长度
KL = 1·1500 = 1500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/1500² = 58487 N = 58.49 kN
答案
Pcr = 58.49 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 69.09 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
回转半径和长细比
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 1·1500 = 1500 mm
KL/r = 1500/15 = 100
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69.09 MPa
答案
σcr = 69.09 MPa
11.机械振动
答案: fd = 6.356 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
无阻尼固有频率
ωn = √(200000/100) = 44.72 rad/s
fn = 44.72/(2π) = 7.118 Hz
有阻尼固有频率
fd = fn·√(1 − ζ²) = 7.118·√(1 − 0.45²) = 6.356 Hz
答案
fd = 6.356 Hz
12.机械振动
答案: fn = 3.805 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/50 + 1/20 → keq = 50·20/(50 + 20) = 14.29 kN/m
固有频率
ωn = √(14286/25) = 23.9 rad/s
fn = 23.9/(2π) = 3.805 Hz
答案
fn = 3.805 Hz
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