齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 0.37 kW、960 rpm 的电动机驱动一个 2 头的蜗杆。蜗轮有 60 个齿，传动效率为 75%。求蜗轮轴上的输出转矩 Tw。
z = 2Nw = 60n = 960 rpmP = 0.37 kWη = 75%
Tw = N·m
2.齿轮与齿轮系困难
一条开口皮带把一个以 960 rpm 转动、直径 100 mm 的主动轮与一个 315 mm 的带轮相连；中心距为 500 mm。摩擦系数为 0.25，紧边张力不得超过 500 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。
d1 = 100 mmn1 = 960 rpmd2 = 315 mmC = 500 mmμ = 0.25T1 = 500 N
P = kW
3.轴的扭转中等
一根阶梯形实心钢轴在 A 端固定。AB 段直径 40 mm，长 2 m；BC 段直径 20 mm，长 1.5 m。自由端 C 作用 100 N·m 的扭矩。 求轴中的最大切应力 τmax。
T = 100 N·md1 = 40 mm, L1 = 2 md2 = 20 mm, L2 = 1.5 m
τmax = MPa
4.轴的扭转困难
一根实心轴需在 500 rpm 下传递 10 kW，且切应力不超过 60 MPa。求满足要求的最小直径 d。
P = 10 kWN = 500 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 120 MPa，σᵧ = −80 MPa，τₓᵧ = 20 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = 120 MPaσy = −80 MPaτxy = 20 MPa
θp = °
6.莫尔圆与应力变换困难
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 10 MPa，σᵧ = 110 MPa，τₓᵧ = −30 MPa（σz = 0）。 材料的屈服强度为 300 MPa。按特雷斯卡（最大切应力）准则求防止屈服的安全系数 n。
σx = 10 MPaσy = 110 MPaτxy = −30 MPaσY = 300 MPa
n =
7.轴向应力与应变中等
求铝杆在轴向荷载下的伸长量 δ。
P = 115 kNd = 20 mmL = 3 mE = 70 GPa
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
一根钢杆（直径 40 mm，E = 200 GPa，许用应力 200 MPa）放在一根铜管（外径 120 mm，内径 50 mm，E = 120 GPa，许用应力 70 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 Pmax。
杆: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPa管: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 40 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)d = 40 mm
σcr = MPa
11.机械振动中等
在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 40 mm 之后 4 个周期出现峰值 11.4 mm。 求阻尼比 ζ。
x0 = 40 mmx4 = 11.4 mmn = 4
ζ =
12.机械振动困难
一个 20 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 60 kN/m，下弹簧 k₂ = 25 kN/m。 忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 20 kgk1 = 60 kN/mk2 = 25 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: Tw = 82.81 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
蜗轮转速
nw = n·z/Nw = 960·2/60 = 32 rpm
输出扭矩
ωw = 2π·32/60 = 3.351 rad/s
Tw = η·P/ωw = 0.75·370/3.351 = 82.81 N·m
答案
Tw = 82.81 N·m
2.齿轮与齿轮系
答案: P = 1.236 kW
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
包角
θ = 2.708 rad
松边张力
eμθ = e0.6771 = 1.968, T₂ = 500/1.968 = 254.1 N
功率
P = (500 − 254.1)·5.027 = 1.236 kW
答案
P = 1.236 kW
3.轴的扭转
答案: τmax = 63.66 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
各段的应力
T = 100 N·m = 100000 N·mm
τAB = 16·100000/(π·40³) = 7.958 MPa
τBC = 16·100000/(π·20³) = 63.66 MPa
答案
τmax = 63.66 MPa
4.轴的扭转
答案: d = 25.31 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 10000/52.36 = 191 N·m
由许用应力求直径
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·190986/(π·60)) = 25.31 mm
答案
d = 25.31 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
5.莫尔圆与应力变换
答案: θp = 5.655 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·20, 120 − −80) = 11.31°
单元体上的角度
θp = 5.655°
答案
θp = 5.655°
逆时针方向的角度为正。
6.莫尔圆与应力变换
答案: n = 2.536
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。
主应力
C = 60 MPa, R = 58.31 MPa
σ1 = 118.3 MPa, σ2 = 1.69 MPa, σ3 = 0
特雷斯卡
σmax − σmin = 118.3 MPa
n = 300/118.3 = 2.536
答案
n = 2.536
n > 1 表示该点不屈服；特雷斯卡准则比冯·米塞斯准则稍保守。
7.轴向应力与应变
答案: δ = 15.69 mm
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 115·1000/314.2 = 366.1 MPa
应变（胡克定律）
E for 铝 = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 366.1/70000 = 0.005229 = 5229 µε
伸长量
δ = ε·L = 0.005229·3000 mm = 15.69 mm
答案
δ = 15.69 mm
8.轴向应力与应变
答案: Pmax = 800.8 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·9346 = 1.373 × 10⁹ N
控制应变
ε = min(0.001, 0.0005833) = 0.0005833 (铜)
最大载荷
Pmax = 0.0005833·1.373 × 10⁹ = 800844 N = 800.8 kN
答案
Pmax = 800.8 kN
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 168.4 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/2500² = 168441 N = 168.4 kN
答案
Pcr = 168.4 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 21.93 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
回转半径和长细比
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 2·1500 = 3000 mm
KL/r = 3000/10 = 300
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21.93 MPa
答案
σcr = 21.93 MPa
11.机械振动
答案: ζ = 0.04988
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
对数衰减率
δ = (1/4)·ln(40/11.4) = 0.3138
阻尼比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3138/√(39.48 + 0.09848) = 0.04988
答案
ζ = 0.04988
12.机械振动
答案: fn = 4.728 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/60 + 1/25 → keq = 60·25/(60 + 25) = 17.65 kN/m
固有频率
ωn = √(17647/20) = 29.7 rad/s
fn = 29.7/(2π) = 4.728 Hz
答案
fn = 4.728 Hz
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