机械设计：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

齿轮与齿轮系

啮合齿轮
n1·N1 = n2·N2
扭矩
T2 = T1·(N2/N1)·η
功率
P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系
总传动比 = 各级传动比之积

轴的扭转

切应力
τ = T·r/J
实心轴
J = πd⁴/32
空心轴
J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角
φ = TL/(GJ)
功率
P = T·ω = 2πnT/60

方法

  1. 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
  2. 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
  3. 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
  4. 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

莫尔圆与应力变换

圆心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主应力
σ1,2 = C ± R
主方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜截面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

方法

  1. 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
  2. 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
  4. 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

轴向应力与应变

正应力
σ = F/A
应变
ε = ΔL/L
胡克定律
σ = E·ε
伸长量
ΔL = FL/(EA)
热应变
εT = α·ΔT

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

机械振动

固有频率
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
由静挠度求
ωn = √(g/δst)
临界阻尼
cc = 2√(km) = 2mωn
阻尼比
ζ = c/cc
阻尼固有频率
ωd = ωn√(1 − ζ²)
对数衰减率
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联
k = k1 + k2
弹簧串联
1/k = 1/k1 + 1/k2

2练习题

1.齿轮与齿轮系中等
N1​ = 20, m = 2.5 mm

一台 3 kW、转速 1440 rpm 的电动机驱动一个齿数为 20、模数为 2.5 mm 的小齿轮。求小齿轮齿上的切向力 Ft。

P = 3 kWn = 1440 rpmN1 = 20m = 2.5 mm
Ft = N
2.齿轮与齿轮系困难
A = 45B = 48C = 24D = ?

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（45 齿）以 3000 rpm 转动，驱动齿轮 B（48 齿）。齿轮 C（24 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D。输出轴须以 1125 rpm 转动。齿轮 D 须有多少个齿 ND？

nin = 3000 rpmA = 45B = 48C = 24nout = 1125 rpm
ND =
3.轴的扭转中等
do​ = ?T = 1500 N·m

一根空心轴须承受 1500 N·m 的扭矩。 其内径为外径的 0.6 倍，切应力不得超过 50 MPa。求最小外径 do。

T = 1500 N·mdi/do = 0.6τallow = 50 MPa
do = mm
4.轴的扭转困难
Tdo​ = 75 mm, di​ = 45 mm

一根空心轴在 750 rpm 下传递 20 kW。求轴中的最大切应力 τmax。

P = 20 kWN = 750 rpmdo = 75 mmdi = 45 mm
τmax = MPa
5.莫尔圆与应力变换中等
σx​ = 120σy​ = −50τxy​ = 30MPa

受载零件中某点的应力为 σₓ = 120 MPa，σᵧ = −50 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。 求面内最大切应力 τmax。

σx = 120 MPaσy = −50 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
σx​ = −40σy​ = 90τxy​ = −40MPa

受载零件中某点的应力为 σₓ = −40 MPa，σᵧ = 90 MPa，τₓᵧ = −40 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 30° 的截面上的切应力 τθ（正方向与 τₓᵧ 相同）。

σx = −40 MPaσy = 90 MPaτxy = −40 MPaθ = 30°
τθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
P = ?12300 mm400 mmØ25Ø30δ = 0.4 mm

一根杆由一段钢（直径 25 mm，长 300 mm，E = 200 GPa）与一段铝（直径 30 mm，长 400 mm，E = 70 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.4 mm 的轴向载荷 P。

第 1 段: 钢, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铝, Ø30 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0.4 mm
P = kN
8.轴向应力与应变困难
P = ?Ø40120 GPaØ100/70400 mm

一根钢杆（直径 40 mm，E = 200 GPa，许用应力 160 MPa）放在一根铜管（外径 100 mm，内径 70 mm，E = 120 GPa，许用应力 80 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 Pmax。

杆: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 160 MPa管: Ø100/Ø70 mm, E = 120 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
9.柱的屈曲中等
PL = 1.5 m30 × 50 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 30 × 50 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
PL = 4 md = 25 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。

L = 4 mE = 200 GPa (钢)d = 25 mm
σcr = MPa
11.机械振动中等
k = 50 kN/mc = 800 N·s/mm = 500 kg

一个 500 kg 的质量块由刚度为 50 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 800 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 500 kgk = 50 kN/mc = 800 N·s/m
ζ =
12.机械振动困难
k1​ = 5k2​ = 100m = 10 kg

一个 10 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 5 kN/m，下弹簧 k₂ = 100 kN/m。 求弹簧系统的等效刚度 keq，以 kN/m 计。

m = 10 kgk1 = 5 kN/mk2 = 100 kN/m
keq = kN/m

3溶液

1.齿轮与齿轮系

答案: Ft = 795.8 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.

小齿轮上的转矩

ω = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s
T = P/ω = 3000/150.8 = 19.89 N·m

分度圆直径

d = m·N = 2.5·20 = 50 mm

切向力

Ft = 2T/d = 2·19.89/0.05 = 795.8 N

答案

Ft = 795.8 N
2.齿轮与齿轮系

答案: ND = 60

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

中间轴转速

nB = nC = 3000·45/48 = 2813 rpm

齿轮 D 的齿数

ND = C·nC/nout = 24·2813/1125 = 60

答案

ND = 60
3.轴的扭转

答案: do = 55.99 mm

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

由容许应力求外径

T = 1500 N·m = 1.5 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.6⁴ = 0.8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1.5 × 10⁶/(π·50·0.8704)) = 55.99 mm
di = 0.6·55.99 = 33.6 mm

答案

do = 55.99 mm

实心轴需要 d = 53.46 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。

4.轴的扭转

答案: τmax = 3.532 MPa

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 20000/78.54 = 254.6 N·m

极惯性矩

J = π(75⁴ − 45⁴)/32 = 2.704 × 10⁶ mm⁴

最大切应力

τmax = T·(do/2)/J = 254648·37.5/2.704 × 10⁶ = 3.532 MPa

答案

τmax = 3.532 MPa
5.莫尔圆与应力变换

答案: τmax = 90.14 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

στxyCτmax​

莫尔圆半径

τmax = R = √(((120 − −50)/2)² + 30²) = 90.14 MPa

答案

τmax = 90.14 MPa
6.莫尔圆与应力变换

答案: τθ = 36.29 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

变换公式

τθ = −−65·0.866 + −40·0.5 = 36.29 MPa

答案

τθ = 36.29 MPa
7.轴向应力与应变

答案: P = 35.91 kN

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

A₁ = 490.9 mm², A₂ = 706.9 mm²

柔度

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490.9) = 3.056 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·706.9) = 8.084 × 10⁻⁶ mm/N

载荷

P = 0.4/1.114 × 10⁻⁵ = 35907 N = 35.91 kN

答案

P = 35.91 kN
8.轴向应力与应变

答案: Pmax = 488 kN

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

组合轴向刚度

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·4006 = 7.32 × 10⁸ N

控制应变

ε = min(0.0008, 0.0006667) = 0.0006667 (铜)

最大载荷

Pmax = 0.0006667·7.32 × 10⁸ = 487994 N = 488 kN

答案

Pmax = 488 kN
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 98.7 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

Imin = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

计算长度

KL = 1·1500 = 1500 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/1500² = 98696 N = 98.7 kN

答案

Pcr = 98.7 kN
10.柱的屈曲

答案: σcr = 9.835 MPa

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

回转半径和长细比

A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
KL/r = 2800/6.25 = 448

临界应力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/448² = 9.835 MPa

答案

σcr = 9.835 MPa
11.机械振动

答案: ζ = 0.08

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

cc = 2·√(k·m) = 2·√(50000·500) = 10000 N·s/m

阻尼比

ζ = c/cc = 800/10000 = 0.08

答案

ζ = 0.08

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

12.机械振动

答案: keq = 4.762 kN/m

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k1 + 1/k2。

1/keq = 1/5 + 1/100 → keq = 5·100/(5 + 100) = 4.762 kN/m

答案

keq = 4.762 kN/m

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