齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 5.5 kW 的电动机以 1450 rpm 运转，驱动一个齿数为 18 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 25 的大齿轮啮合。 该齿轮副的效率为 97%。 求电动机轴上的扭矩 T1。
P = 5.5 kWn1 = 1450 rpmN1 = 18N2 = 25η = 97%
T1 = N·m
2.齿轮与齿轮系困难
一条开口皮带连接一个 120 mm 的带轮和一个 500 mm 的带轮，二者中心相距 600 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。
d1 = 120 mmd2 = 500 mmC = 600 mm
θ = °
3.轴的扭转中等
一根空心轴须承受 1000 N·m 的扭矩。 其内径为外径的 0.5 倍，切应力不得超过 40 MPa。求最小外径 do。
T = 1000 N·mdi/do = 0.5τallow = 40 MPa
do = mm
4.轴的扭转困难
一根空心轴在 1450 rpm 下传递 5 kW。求轴中的最大切应力 τmax。
P = 5 kWN = 1450 rpmdo = 40 mmdi = 28 mm
τmax = MPa
5.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = −10 MPa、σᵧ = 0 MPa。在最大主应力达到 35 MPa 之前，切应力 τxy（大小）最大可以是多少？
σx = −10 MPaσy = 0 MPaσ1 = 35 MPa
τxy = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 90 MPa，σᵧ = 80 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 35° 的截面上的切应力 τθ（正方向与 τₓᵧ 相同）。
σx = 90 MPaσy = 80 MPaτxy = 30 MPaθ = 35°
τθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
求钢杆在轴向荷载下的伸长量 δ。
P = 105 kNd = 25 mmL = 1 mE = 200 GPa
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
一根钢杆（直径 25 mm，E = 200 GPa，许用应力 250 MPa）放在一根铜管（外径 80 mm，内径 50 mm，E = 120 GPa，许用应力 100 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 Pmax。
杆: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPa管: Ø80/Ø50 mm, E = 120 GPa, σallow = 100 MPa
Pmax = kN
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 6 mE = 200 GPa (钢)d = 30 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 95 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。
P = 95 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.机械振动中等
一个 100 kg 的质量块由刚度为 20 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 230 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。
m = 100 kgk = 20 kN/mc = 230 N·s/m
ζ =
12.机械振动困难
一个 100 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 60 kN/m，下弹簧 k₂ = 25 kN/m。 忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 100 kgk1 = 60 kN/mk2 = 25 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: T1 = 36.22 N·m
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
电动机扭矩
ω₁ = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 5500/151.8 = 36.22 N·m
答案
T1 = 36.22 N·m
2.齿轮与齿轮系
答案: θ = 143.1 °
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
皮带角
asin(0.3167) = 18.46°
包角
θ = 180 − 2·18.46 = 143.1°
答案
θ = 143.1°
3.轴的扭转
答案: do = 51.4 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
由容许应力求外径
T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1 × 10⁶/(π·40·0.9375)) = 51.4 mm
di = 0.5·51.4 = 25.7 mm
答案
do = 51.4 mm
实心轴需要 d = 50.31 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。
4.轴的扭转
答案: τmax = 3.448 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 5000/151.8 = 32.93 N·m
极惯性矩
J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴
最大切应力
τmax = T·(do/2)/J = 32929·20/190984 = 3.448 MPa
答案
τmax = 3.448 MPa
5.莫尔圆与应力变换
答案: τxy = 39.69 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
所需半径
C = (−10 + 0)/2 = −5 MPa
R = σ1 − C = 35 − (−5) = 40 MPa
切应力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(40² − 5²) = 39.69 MPa
答案
τxy = 39.69 MPa
6.莫尔圆与应力变换
答案: τθ = 5.562 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
τθ = −5·0.9397 + 30·0.342 = 5.562 MPa
答案
τθ = 5.562 MPa
7.轴向应力与应变
答案: δ = 1.07 mm
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 105·1000/490.9 = 213.9 MPa
应变（胡克定律）
E for 钢 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 213.9/200000 = 0.00107 = 1070 µε
伸长量
δ = ε·L = 0.00107·1000 mm = 1.07 mm
答案
δ = 1.07 mm
8.轴向应力与应变
答案: Pmax = 388.1 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·490.9 + 120·10³·3063 = 4.657 × 10⁸ N
控制应变
ε = min(0.00125, 0.0008333) = 0.0008333 (铜)
最大载荷
Pmax = 0.0008333·4.657 × 10⁸ = 388118 N = 388.1 kN
答案
Pmax = 388.1 kN
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 2.18 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
计算长度
KL = 1·6000 = 6000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/6000² = 2180 N = 2.18 kN
答案
Pcr = 2.18 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 129.6 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2·95000 = 190000 N
KL = 2·6000 = 12000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·190000·12000²/(π³·200000))^(1/4) = 129.6 mm
答案
d = 129.6 mm
校核：长细比 KL/r 为 370.3，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: ζ = 0.08132
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
临界阻尼
cc = 2·√(k·m) = 2·√(20000·100) = 2828 N·s/m
阻尼比
ζ = c/cc = 230/2828 = 0.08132
答案
ζ = 0.08132
ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。
12.机械振动
答案: fn = 2.114 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/60 + 1/25 → keq = 60·25/(60 + 25) = 17.65 kN/m
固有频率
ωn = √(17647/100) = 13.28 rad/s
fn = 13.28/(2π) = 2.114 Hz
答案
fn = 2.114 Hz
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