齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
两根平行轴相距 112.5 mm。须用一对模数为 3 mm、减速比为 1.5 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。 大齿轮须有多少个齿 N2？
a = 112.5 mmm = 3 mmi = 1.5
N2 =
2.齿轮与齿轮系困难
一条开口皮带把一个以 1440 rpm 转动、直径 200 mm 的主动轮与一个 315 mm 的带轮相连；中心距为 1000 mm。摩擦系数为 0.25，紧边张力不得超过 500 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。
d1 = 200 mmn1 = 1440 rpmd2 = 315 mmC = 1000 mmμ = 0.25T1 = 500 N
P = kW
3.轴的扭转中等
一根长 0.5 m 的实心黄铜轴承受 250 N·m 的扭矩。两端之间的扭转角不得超过 0.5°。求满足该限值的最小直径 d。
T = 250 N·mL = 0.5 mG = 39 GPaφallow = 0.5°
d = mm
4.轴的扭转困难
一根直径 30 mm 的实心黄铜轴两端 A 和 B 都固定在刚性墙上。在距 A 0.8 m、距 B 2.5 m 的 C 处施加 750 N·m 的扭矩。 求轴中的最大切应力 τmax。
d = 30 mmT0 = 750 N·ma = 0.8 mb = 2.5 m
τmax = MPa
5.莫尔圆与应力变换中等
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 40 MPa，σᵧ = 120 MPa，τₓᵧ = −40 MPa，σz = 0。求该点的绝对最大切应力 τabs（考虑三维中所有平面）。
σx = 40 MPaσy = 120 MPaτxy = −40 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
一根直径 50 mm 的实心轴承受300 N·m 的弯矩，同时承受 1000 N·m 的扭矩。 在弯曲应力为拉应力且最大的上表面处， 求面内最大切应力 τmax。
d = 50 mmM = 300 N·mT = 1000 N·m
τmax = MPa
7.轴向应力与应变中等
求黄铜杆在轴向荷载下的伸长量 δ。
P = 95 kNd = 20 mmL = 1.5 mE = 100 GPa
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
一根钢杆（直径 20 mm，E = 200 GPa，许用应力 250 MPa）放在一根青铜管（外径 120 mm，内径 70 mm，E = 110 GPa，许用应力 80 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 Pmax。
杆: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPa管: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 6 mE = 200 GPa (钢)b × h = 40 × 80 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 2 mE = 200 GPa (钢)d = 60 mm
σcr = MPa
11.机械振动中等
一个 50 kg 的质量块由刚度为 40 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 140 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。
m = 50 kgk = 40 kN/mc = 140 N·s/m
ζ =
12.机械振动困难
一个 25 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 50 kN/m，下弹簧 k₂ = 60 kN/m。 忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 25 kgk1 = 50 kN/mk2 = 60 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: N2 = 45
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
总齿数
N1 + N2 = 2a/m = 2·112.5/3 = 75
按传动比分配
N1 = 75/(1 + 1.5) = 30
N2 = 1.5·30 = 45
答案
N2 = 45
2.齿轮与齿轮系
答案: P = 4.002 kW
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
包角
θ = 3.027 rad
松边张力
eμθ = e0.7566 = 2.131, T₂ = 500/2.131 = 234.6 N
功率
P = (500 − 234.6)·15.08 = 4.002 kW
答案
P = 4.002 kW
3.轴的扭转
答案: d = 43.98 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
所需的极惯性矩
T = 250 N·m = 250000 N·mm
L = 0.5 m = 500 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 0.5·π/180 = 0.008727 rad
J = TL/(Gφ) = 250000·500/(39000·0.008727) = 367281 mm⁴
直径
d = (32J/π)1/4 = 43.98 mm
答案
d = 43.98 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
4.轴的扭转
答案: τmax = 107.2 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。 两端都固定时，仅靠静力学只能得到 TA + TB = T₀；第二个方程是变形协调条件（两部分在受荷截面处的扭转角相等）。
平衡和变形协调
TA + TB = 750
TA·a = TB·b
TA = 750·2.5/3.3 = 568.2 N·m
TB = 750·0.8/3.3 = 181.8 N·m
最大切应力
两个扭矩中较大者起控制作用（直径相同）。
τmax = 16·568182/(π·30³) = 107.2 MPa
答案
τmax = 107.2 MPa
5.莫尔圆与应力变换
答案: τabs = 68.28 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 在三维中，绝对最大切应力为三个主应力中 (σmax − σmin)/2；平面应力状态下第三个主应力为零。
面内主应力
C = 80 MPa, R = √((−40)² + (−40)²) = 56.57 MPa
σ1 = 136.6 MPa, σ2 = 23.43 MPa, σz = 0
三个圆中最大的
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(113.1, 136.6, 23.43)/2 = 68.28 MPa
答案
τabs = 68.28 MPa
这里由面外的圆控制：绝对最大值大于面内最大值 R。
6.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 42.54 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
表面处的应力
σ = 32M/(πd³) = 32·300000/(π·50³) = 24.45 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·50³) = 40.74 MPa
莫尔圆
C = σ/2 = 12.22 MPa
R = √(12.22² + 40.74²) = 42.54 MPa
答案
τmax = 42.54 MPa
7.轴向应力与应变
答案: δ = 4.536 mm
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 95·1000/314.2 = 302.4 MPa
应变（胡克定律）
E for 黄铜 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 302.4/100000 = 0.003024 = 3024 µε
伸长量
δ = ε·L = 0.003024·1500 mm = 4.536 mm
答案
δ = 4.536 mm
8.轴向应力与应变
答案: Pmax = 642.6 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·314.2 + 110·10³·7461 = 8.836 × 10⁸ N
控制应变
ε = min(0.00125, 0.0007273) = 0.0007273 (青铜)
最大载荷
Pmax = 0.0007273·8.836 × 10⁸ = 642598 N = 642.6 kN
答案
Pmax = 642.6 kN
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 5.849 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴
计算长度
KL = 2·6000 = 12000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·426667/12000² = 5849 N = 5.849 kN
答案
Pcr = 5.849 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 111 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
回转半径和长细比
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 1·2000 = 2000 mm
KL/r = 2000/15 = 133.3
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/133.3² = 111 MPa
答案
σcr = 111 MPa
11.机械振动
答案: ζ = 0.0495
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
临界阻尼
cc = 2·√(k·m) = 2·√(40000·50) = 2828 N·s/m
阻尼比
ζ = c/cc = 140/2828 = 0.0495
答案
ζ = 0.0495
ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。
12.机械振动
答案: fn = 5.257 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/50 + 1/60 → keq = 50·60/(50 + 60) = 27.27 kN/m
固有频率
ωn = √(27273/25) = 33.03 rad/s
fn = 33.03/(2π) = 5.257 Hz
答案
fn = 5.257 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design