齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一个 3 头的蜗杆以 1440 rpm 转动，驱动一个 60 齿的蜗轮。求蜗轮的转速 nw。
z = 3Nw = 60n = 1440 rpm
nw = rpm
2.齿轮与齿轮系困难
一条开口皮带连接一个 100 mm 的带轮和一个 200 mm 的带轮，二者中心相距 600 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。
d1 = 100 mmd2 = 200 mmC = 600 mm
θ = °
3.轴的扭转中等
一根长 0.5 m 的实心黄铜轴承受 1000 N·m 的扭矩。两端之间的扭转角不得超过 3°。求满足该限值的最小直径 d。
T = 1000 N·mL = 0.5 mG = 39 GPaφallow = 3°
d = mm
4.轴的扭转困难
一根实心轴需在 3000 rpm 下传递 50 kW，且切应力不超过 50 MPa。求满足要求的最小直径 d。
P = 50 kWN = 3000 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = −20 MPa，σᵧ = 100 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = −20 MPaσy = 100 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
6.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = −20 MPa，σᵧ = 30 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 15° 的截面上的正应力 σθ。
σx = −20 MPaσy = 30 MPaτxy = 30 MPaθ = 15°
σθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
一根钢杆（直径 20 mm，E = 200 GPa）放在一根黄铜管（外径 100 mm，内径 60 mm，E = 100 GPa）内。二者长度均为 800 mm，在刚性板之间被 150 kN 的力一起压缩。 求缩短量 δ。
P = 150 kN杆: Ø20 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 800 mm
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
一段钢（直径 25 mm，长 300 mm，E = 200 GPa）与一段黄铜（直径 30 mm，长 500 mm，E = 100 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 30 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。
第 1 段: 钢, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPa第 2 段: 黄铜, Ø30 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1 mE = 70 GPa (铝)b × h = 20 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端铰接。它需承受 80 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。
P = 80 kNn = 2L = 1 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.机械振动中等
一个 40 kg 的质量块挂在刚度为 8 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.5。求其自由振动的有阻尼固有频率 fd，以 Hz 计。
m = 40 kgk = 8 kN/mζ = 0.5
fd = Hz
12.机械振动困难
一个 50 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 12 kN/m 和 k₂ = 12 kN/m。质量块保持水平。 忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 50 kgk1 = 12 kN/mk2 = 12 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: nw = 72 rpm
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
蜗轮转速
nw = n·z/Nw = 1440·3/60 = 72 rpm
答案
nw = 72 rpm
2.齿轮与齿轮系
答案: θ = 170.4 °
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
皮带角
asin(0.08333) = 4.78°
包角
θ = 180 − 2·4.78 = 170.4°
答案
θ = 170.4°
3.轴的扭转
答案: d = 39.74 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
所需的极惯性矩
T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 0.5 m = 500 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 3·π/180 = 0.05236 rad
J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·500/(39000·0.05236) = 244854 mm⁴
直径
d = (32J/π)1/4 = 39.74 mm
答案
d = 39.74 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
4.轴的扭转
答案: d = 25.31 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 50000/314.2 = 159.2 N·m
由许用应力求直径
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·159155/(π·50)) = 25.31 mm
答案
d = 25.31 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
5.莫尔圆与应力变换
答案: θp = 76.72 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·30, −20 − 100) = 153.4°
单元体上的角度
θp = 76.72°
答案
θp = 76.72°
逆时针方向的角度为正。
6.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = −1.651 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = 5 + −25·0.866 + 30·0.5 = −1.651 MPa
答案
σθ = −1.651 MPa
7.轴向应力与应变
答案: δ = 0.2122 mm
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·5027 = 5.655 × 10⁸ N
缩短量
δ = 150000·800/5.655 × 10⁸ = 0.2122 mm
答案
δ = 0.2122 mm
8.轴向应力与应变
答案: σ2 = 12.8 MPa
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
刚度
k₁ = 200000·490.9/300 = 327249 N/mm
k₂ = 100000·706.9/500 = 141372 N/mm
第 2 段的份额
F2 = 30000·141372/468621 = 9050 N
应力
σ2 = 9050/706.9 = 12.8 MPa （压缩）
答案
σ2 = 12.8 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 46.06 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴
计算长度
KL = 1·1000 = 1000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·66667/1000² = 46058 N = 46.06 kN
答案
Pcr = 46.06 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 35.85 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2·80000 = 160000 N
KL = 1·1000 = 1000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·160000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 35.85 mm
答案
d = 35.85 mm
校核：长细比 KL/r 为 111.6，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: fd = 1.949 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
无阻尼固有频率
ωn = √(8000/40) = 14.14 rad/s
fn = 14.14/(2π) = 2.251 Hz
有阻尼固有频率
fd = fn·√(1 − ζ²) = 2.251·√(1 − 0.5²) = 1.949 Hz
答案
fd = 1.949 Hz
12.机械振动
答案: fn = 3.487 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k1 + k2。
keq = 12 + 12 = 24 kN/m
固有频率
ωn = √(24000/50) = 21.91 rad/s
fn = 21.91/(2π) = 3.487 Hz
答案
fn = 3.487 Hz
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