齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 5.5 kW 的电动机以 2900 rpm 运转，驱动一个齿数为 25 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 32 的大齿轮啮合。 该齿轮副的效率为 95%。 求电动机轴上的扭矩 T1。
P = 5.5 kWn1 = 2900 rpmN1 = 25N2 = 32η = 95%
T1 = N·m
2.齿轮与齿轮系困难
在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（20 齿）以 960 rpm 转动，驱动齿轮 B（40 齿）。齿轮 C（45 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D。输出轴须以 270 rpm 转动。齿轮 D 须有多少个齿 ND？
nin = 960 rpmA = 20B = 40C = 45nout = 270 rpm
ND =
3.轴的扭转中等
一根空心轴须承受 1500 N·m 的扭矩。 其内径为外径的 0.5 倍，切应力不得超过 60 MPa。求最小外径 do。
T = 1500 N·mdi/do = 0.5τallow = 60 MPa
do = mm
4.轴的扭转困难
一根空心轴须在 500 rpm 下传递 100 kW。 其内径为外径的 0.8 倍，切应力不得超过 60 MPa。求最小外径 do。
P = 100 kWN = 500 rpmdi/do = 0.8τallow = 60 MPa
do = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = −30 MPa、σᵧ = 20 MPa、τₓᵧ = −40 MPa（拉为正）。单元体按逆时针 50°旋转。求旋转后单元体上垂直于旋转后 y′ 轴的面上的正应力 σy′。
σx = −30 MPaσy = 20 MPaτxy = −40 MPaθ = 50°
σy′ = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 160 MPa，σᵧ = −80 MPa，τₓᵧ = −50 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴顺时针转过 20° 的截面上的正应力 σθ。
σx = 160 MPaσy = −80 MPaτxy = −50 MPaθ = -20°
σθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 40 mm，长 600 mm，E = 200 GPa）与一段铜（直径 30 mm，长 200 mm，E = 120 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.2 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铜, Ø30 mm, 200 mm, E = 120 GPaδ = 0.2 mm
P = kN
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 75 kN第 1 段：Ø40 mm，1.5 m，铜（E = 117 GPa）第 2 段：Ø20 mm，1 m，钢（E = 200 GPa）
σmax = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 3 mE = 200 GPa (钢)b × h = 50 × 80 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，两端固定。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)d = 50 mm
σcr = MPa
11.机械振动中等
一个 12 kg 的质量块挂在刚度为 20 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.3。求其自由振动的有阻尼固有频率 fd，以 Hz 计。
m = 12 kgk = 20 kN/mζ = 0.3
fd = Hz
12.机械振动困难
一个 5 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 40 kN/m 和 k₂ = 60 kN/m。质量块保持水平。 忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 5 kgk1 = 40 kN/mk2 = 60 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: T1 = 18.11 N·m
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
电动机扭矩
ω₁ = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s
T1 = P/ω₁ = 5500/303.7 = 18.11 N·m
答案
T1 = 18.11 N·m
2.齿轮与齿轮系
答案: ND = 80
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
中间轴转速
nB = nC = 960·20/40 = 480 rpm
齿轮 D 的齿数
ND = C·nC/nout = 45·480/270 = 80
答案
ND = 80
3.轴的扭转
答案: do = 51.4 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
由容许应力求外径
T = 1500 N·m = 1.5 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1.5 × 10⁶/(π·60·0.9375)) = 51.4 mm
di = 0.5·51.4 = 25.7 mm
答案
do = 51.4 mm
实心轴需要 d = 50.31 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。
4.轴的扭转
答案: do = 65 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 100000/52.36 = 1910 N·m
由容许应力求外径
T = 1910 N·m = 1.91 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.8⁴ = 0.5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1.91 × 10⁶/(π·60·0.5904)) = 65 mm
di = 0.8·65 = 52 mm
答案
do = 65 mm
实心轴需要 d = 54.53 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。
5.莫尔圆与应力变换
答案: σy′ = 30.05 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
y′ 面的变换公式
σy′ = −5 − (−25)·(−0.1736) − (−40)·0.9848 = 30.05 MPa
校核
正应力之和不随旋转而变化。
σx′ = −40.05 MPa, σx′ + σy′ = −10 = σx + σy
答案
σy′ = 30.05 MPa
6.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = 164.1 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = 40 + 120·0.766 + −50·−0.6428 = 164.1 MPa
答案
σθ = 164.1 MPa
7.轴向应力与应变
答案: P = 42.15 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 1257 mm², A₂ = 706.9 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2.387 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(120000·706.9) = 2.358 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.2/4.745 × 10⁻⁶ = 42148 N = 42.15 kN
答案
P = 42.15 kN
8.轴向应力与应变
答案: σmax = 238.7 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 59.68 MPa
σ2 = 238.7 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 238.7 MPa
答案
σmax = 238.7 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 731.1 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·3000 = 1500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/1500² = 731082 N = 731.1 kN
答案
Pcr = 731.1 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 197.4 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
回转半径和长细比
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
KL/r = 1250/12.5 = 100
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197.4 MPa
答案
σcr = 197.4 MPa
11.机械振动
答案: fd = 6.198 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
无阻尼固有频率
ωn = √(20000/12) = 40.82 rad/s
fn = 40.82/(2π) = 6.497 Hz
有阻尼固有频率
fd = fn·√(1 − ζ²) = 6.497·√(1 − 0.3²) = 6.198 Hz
答案
fd = 6.198 Hz
12.机械振动
答案: fn = 22.51 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k1 + k2。
keq = 40 + 60 = 100 kN/m
固有频率
ωn = √(100000/5) = 141.4 rad/s
fn = 141.4/(2π) = 22.51 Hz
答案
fn = 22.51 Hz
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