齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 1.5 kW、转速 1450 rpm 的电动机驱动一个齿数为 16、模数为 5 mm 的小齿轮。求小齿轮齿上的切向力 Ft。
P = 1.5 kWn = 1450 rpmN1 = 16m = 5 mm
Ft = N
2.齿轮与齿轮系困难
在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（48 齿）以 2900 rpm 转动，驱动齿轮 B（50 齿）。齿轮 C（60 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（80 齿）。求输出转速 nout。
nin = 2900 rpmA = 48B = 50C = 60D = 80
nout = rpm
3.轴的扭转中等
一根钢实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 500 N·md = 25 mmL = 0.8 mG = 80 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根实心轴需在 750 rpm 下传递 75 kW，且切应力不超过 75 MPa。求满足要求的最小直径 d。
P = 75 kWN = 750 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = −30 MPa，σᵧ = 70 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。 求面内最大切应力 τmax。
σx = −30 MPaσy = 70 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
一根直径 60 mm 的实心轴承受180 kN 的轴向拉力，同时承受 500 N·m 的扭矩。 在轴的表面处， 求最大主应力 σ1。
d = 60 mmF = 180 kNT = 500 N·m
σ1 = MPa
7.轴向应力与应变中等
求钢杆在轴向荷载下的伸长量 δ。
P = 110 kNd = 25 mmL = 1 mE = 200 GPa
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 20 kN第 1 段：Ø30 mm，1 m，钢（E = 200 GPa）第 2 段：Ø16 mm，0.5 m，钢（E = 200 GPa）
σmax = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)d = 20 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端固定。它需承受 15 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。
P = 15 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.机械振动中等
在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 25 mm 之后 2 个周期出现峰值 7.1 mm。 求阻尼比 ζ。
x0 = 25 mmx2 = 7.1 mmn = 2
ζ =
12.机械振动困难
一个 25 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 30 kN/m 和 k₂ = 100 kN/m。质量块保持水平。 求弹簧系统的等效刚度 keq，以 kN/m 计。
m = 25 kgk1 = 30 kN/mk2 = 100 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: Ft = 247 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
小齿轮上的转矩
ω = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 1500/151.8 = 9.879 N·m
分度圆直径
d = m·N = 5·16 = 80 mm
切向力
Ft = 2T/d = 2·9.879/0.08 = 247 N
答案
Ft = 247 N
2.齿轮与齿轮系
答案: nout = 2088 rpm
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
第一级
nB = 2900·48/50 = 2784 rpm = nC
第二级
nout = 2784·60/80 = 2088 rpm
答案
nout = 2088 rpm
总传动比 = 1.389 : 1
3.轴的扭转
答案: φ = 7.47 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 500·1000·800/(80000·38350) = 0.1304 rad
φ = 0.1304·180/π = 7.47°
答案
φ = 7.47°
4.轴的扭转
答案: d = 40.18 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 75000/78.54 = 954.9 N·m
由许用应力求直径
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·954930/(π·75)) = 40.18 mm
答案
d = 40.18 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
5.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 58.31 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
莫尔圆半径
τmax = R = √(((−30 − 70)/2)² + 30²) = 58.31 MPa
答案
τmax = 58.31 MPa
6.莫尔圆与应力变换
答案: σ1 = 65.78 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
表面处的应力
σ = F/A = 180000/(π·60²/4) = 180000/2827 = 63.66 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·60³) = 11.79 MPa
莫尔圆
C = σ/2 = 31.83 MPa
R = √(31.83² + 11.79²) = 33.94 MPa
σ1 = C + R = 65.78 MPa
σ2 = C − R = −2.113 MPa
答案
σ1 = 65.78 MPa
7.轴向应力与应变
答案: δ = 1.12 mm
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 110·1000/490.9 = 224.1 MPa
应变（胡克定律）
E for 钢 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 224.1/200000 = 0.00112 = 1120 µε
伸长量
δ = ε·L = 0.00112·1000 mm = 1.12 mm
答案
δ = 1.12 mm
8.轴向应力与应变
答案: σmax = 99.47 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 28.29 MPa
σ2 = 99.47 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 99.47 MPa
答案
σmax = 99.47 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 9.922 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/1250² = 9922 N = 9.922 kN
答案
Pcr = 9.922 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 37.3 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2·15000 = 30000 N
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 37.3 mm
答案
d = 37.3 mm
校核：长细比 KL/r 为 268.1，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: ζ = 0.09967
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
对数衰减率
δ = (1/2)·ln(25/7.1) = 0.6294
阻尼比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.6294/√(39.48 + 0.3961) = 0.09967
答案
ζ = 0.09967
12.机械振动
答案: keq = 130 kN/m
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k1 + k2。
keq = 30 + 100 = 130 kN/m
答案
keq = 130 kN/m
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