齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一条皮带绕在一个以 1450 rpm 转动、直径 150 mm 的主动轮上。紧边张力为 1500 N，松边张力为 600 N。求传递的功率 P，单位 kW。
d1 = 150 mmn1 = 1450 rpmT1 = 1500 NT2 = 600 N
P = kW
2.齿轮与齿轮系困难
在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（16 齿）以 3000 rpm 转动，驱动齿轮 B（32 齿）。齿轮 C（24 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（50 齿）。求输出转速 nout。
nin = 3000 rpmA = 16B = 32C = 24D = 50
nout = rpm
3.轴的扭转中等
一根长 1.5 m 的实心钢轴承受 750 N·m 的扭矩。两端之间的扭转角不得超过 1.5°。求满足该限值的最小直径 d。
T = 750 N·mL = 1.5 mG = 80 GPaφallow = 1.5°
d = mm
4.轴的扭转困难
一根实心钢轴在 1000 rpm 下传递 50 kW。切应力不得超过 40 MPa，每 m 长度的扭转角不得超过 0.5°。求同时满足两个限值的最小直径 d。
P = 50 kWN = 1000 rpmτallow = 40 MPaθallow = 0.5°/mG = 80 GPa
d = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = −60 MPa，σᵧ = −30 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = −60 MPaσy = −30 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
6.莫尔圆与应力变换困难
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 150 MPa，σᵧ = −10 MPa，τₓᵧ = 10 MPa（σz = 0）。 材料的屈服强度为 300 MPa。按冯·米塞斯（畸变能）准则求防止屈服的安全系数 n。
σx = 150 MPaσy = −10 MPaτxy = 10 MPaσY = 300 MPa
n =
7.轴向应力与应变中等
一根钢杆（直径 20 mm，E = 200 GPa）放在一根铜管（外径 100 mm，内径 50 mm，E = 120 GPa）内。二者长度均为 300 mm，在刚性板之间被 100 kN 的力一起压缩。 求缩短量 δ。
P = 100 kN杆: Ø20 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 300 mm
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
一段钢（直径 40 mm，长 500 mm，E = 200 GPa）与一段铝（直径 40 mm，长 400 mm，E = 70 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 30 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。
第 1 段: 钢, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铝, Ø40 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2 mE = 200 GPa (钢)b × h = 25 × 80 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 85 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。
P = 85 kNn = 2L = 1 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.机械振动中等
一个 15 kg 的质量块挂在刚度为 40 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.6。求其自由振动的有阻尼固有频率 fd，以 Hz 计。
m = 15 kgk = 40 kN/mζ = 0.6
fd = Hz
12.机械振动困难
一个 100 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 40 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 5 kN/m 和 k₂ = 5 kN/m 悬挂；杆保持水平。 忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 100 kgk1 = 5 kN/mk2 = 5 kN/mk3 = 40 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: P = 10.25 kW
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
皮带速度
v = 11.39 m/s
功率
P = (1500 − 600)·11.39 = 10249 W = 10.25 kW
答案
P = 10.25 kW
2.齿轮与齿轮系
答案: nout = 720 rpm
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
第一级
nB = 3000·16/32 = 1500 rpm = nC
第二级
nout = 1500·24/50 = 720 rpm
答案
nout = 720 rpm
总传动比 = 4.167 : 1
3.轴的扭转
答案: d = 48.36 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
所需的极惯性矩
T = 750 N·m = 750000 N·mm
L = 1.5 m = 1500 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = 1.5·π/180 = 0.02618 rad
J = TL/(Gφ) = 750000·1500/(80000·0.02618) = 537148 mm⁴
直径
d = (32J/π)1/4 = 48.36 mm
答案
d = 48.36 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
4.轴的扭转
答案: d = 51.37 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 50000/104.7 = 477.5 N·m
按强度求直径
T = 477.5 N·m = 477465 N·mm
dτ = ∛(16·477465/(π·40)) = 39.32 mm
按刚度求直径
θ = 0.5·π/180/1000 = 8.727 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·477465/(π·80000·8.727 × 10⁻⁶))1/4 = 51.37 mm
控制直径
两个限值都必须满足，所以较大的直径起控制作用。
d = max(39.32, 51.37) = 51.37 mm
答案
d = 51.37 mm
这里由刚度控制。
5.莫尔圆与应力变换
答案: θp = 58.28 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·30, −60 − −30) = 116.6°
单元体上的角度
θp = 58.28°
答案
θp = 58.28°
逆时针方向的角度为正。
6.莫尔圆与应力变换
答案: n = 1.921
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。
主应力
C = 70 MPa, R = 80.62 MPa
σ1 = 150.6 MPa, σ2 = −10.62 MPa, σ3 = 0
冯·米塞斯
σvM = √(150.6² − 150.6·(−10.62) + (−10.62)²) = 156.2 MPa
n = 300/156.2 = 1.921
答案
n = 1.921
n > 1 表示该点不屈服；特雷斯卡准则比冯·米塞斯准则稍保守。
7.轴向应力与应变
答案: δ = 0.03898 mm
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·314.2 + 120·10³·5890 = 7.697 × 10⁸ N
缩短量
δ = 100000·300/7.697 × 10⁸ = 0.03898 mm
答案
δ = 0.03898 mm
8.轴向应力与应变
答案: σ2 = 7.266 MPa
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
刚度
k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm
k₂ = 70000·1257/400 = 219911 N/mm
第 2 段的份额
F2 = 30000·219911/722566 = 9130 N
应力
σ2 = 9130/1257 = 7.266 MPa （压缩）
答案
σ2 = 7.266 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 205.6 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·2000 = 1000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/1000² = 205617 N = 205.6 kN
答案
Pcr = 205.6 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 51.47 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2·85000 = 170000 N
KL = 2·1000 = 2000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·170000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 51.47 mm
答案
d = 51.47 mm
校核：长细比 KL/r 为 155.4，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: fd = 6.575 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
无阻尼固有频率
ωn = √(40000/15) = 51.64 rad/s
fn = 51.64/(2π) = 8.219 Hz
有阻尼固有频率
fd = fn·√(1 − ζ²) = 8.219·√(1 − 0.6²) = 6.575 Hz
答案
fd = 6.575 Hz
12.机械振动
答案: fn = 1.424 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
只有 k1 和 k2 是并联的。这一对与 k3 串联，所以要按倒数组合。
k12 = 5 + 5 = 10 kN/m
keq = 10·40/(10 + 40) = 8 kN/m
固有频率
ωn = √(8000/100) = 8.944 rad/s
fn = 8.944/(2π) = 1.424 Hz
答案
fn = 1.424 Hz
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