机械设计：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

齿轮与齿轮系

啮合齿轮
n1·N1 = n2·N2
扭矩
T2 = T1·(N2/N1)·η
功率
P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系
总传动比 = 各级传动比之积

轴的扭转

切应力
τ = T·r/J
实心轴
J = πd⁴/32
空心轴
J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角
φ = TL/(GJ)
功率
P = T·ω = 2πnT/60

方法

  1. 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
  2. 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
  3. 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
  4. 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

莫尔圆与应力变换

圆心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主应力
σ1,2 = C ± R
主方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜截面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

方法

  1. 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
  2. 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
  4. 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

轴向应力与应变

正应力
σ = F/A
应变
ε = ΔL/L
胡克定律
σ = E·ε
伸长量
ΔL = FL/(EA)
热应变
εT = α·ΔT

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

机械振动

固有频率
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
由静挠度求
ωn = √(g/δst)
临界阻尼
cc = 2√(km) = 2mωn
阻尼比
ζ = c/cc
阻尼固有频率
ωd = ωn√(1 − ζ²)
对数衰减率
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联
k = k1 + k2
弹簧串联
1/k = 1/k1 + 1/k2

2练习题

1.齿轮与齿轮系中等
N1​ = 12N2​ = 30

一台 2.2 kW 的电动机以 1440 rpm 运转，驱动一个齿数为 12 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 30 的大齿轮啮合。 该齿轮副的效率为 98%。 求齿轮轴上的输出扭矩 T2。

P = 2.2 kWn1 = 1440 rpmN1 = 12N2 = 30η = 98%
T2 = N·m
2.齿轮与齿轮系困难
A = 16B = 20C = 16D = ?

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（16 齿）以 2880 rpm 转动，驱动齿轮 B（20 齿）。齿轮 C（16 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D。输出轴须以 1229 rpm 转动。齿轮 D 须有多少个齿 ND？

nin = 2880 rpmA = 16B = 20C = 16nout = 1229 rpm
ND =
3.轴的扭转中等
T = 100 N·md = 50 mmL = 3 mφ = ?

一根黄铜实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。

T = 100 N·md = 50 mmL = 3 mG = 39 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
do​ = ?50 kW, 500 rpm

一根空心轴须在 500 rpm 下传递 50 kW。 其内径为外径的 0.8 倍，切应力不得超过 40 MPa。求最小外径 do。

P = 50 kWN = 500 rpmdi/do = 0.8τallow = 40 MPa
do = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
σx​ = 140σy​ = 100MPaτxy​ = ?

某点 σₓ = 140 MPa、σᵧ = 100 MPa。在最大主应力达到 150 MPa 之前，切应力 τxy（大小）最大可以是多少？

σx = 140 MPaσy = 100 MPaσ1 = 150 MPa
τxy = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
σx​ = −70σy​ = −10τxy​ = −40MPa

薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = −70 MPa，σᵧ = −10 MPa，τₓᵧ = −40 MPa（σz = 0）。 材料的屈服强度为 250 MPa。按特雷斯卡（最大切应力）准则求防止屈服的安全系数 n。

σx = −70 MPaσy = −10 MPaτxy = −40 MPaσY = 250 MPa
n =
7.轴向应力与应变中等
P = ?12500 mm400 mmØ25Ø30δ = 0.25 mm

一根杆由一段钢（直径 25 mm，长 500 mm，E = 200 GPa）与一段铜（直径 30 mm，长 400 mm，E = 120 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.25 mm 的轴向载荷 P。

第 1 段: 钢, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铜, Ø30 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0.25 mm
P = kN
8.轴向应力与应变困难
50 kN12400 mm200 mmØ20Ø60σ2​ = ?

一段钢（直径 20 mm，长 400 mm，E = 200 GPa）与一段青铜（直径 60 mm，长 200 mm，E = 110 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 50 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。

第 1 段: 钢, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPa第 2 段: 青铜, Ø60 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 50 kN
σ2 = MPa
9.柱的屈曲中等
PL = 6 m40 × 50 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 6 mE = 200 GPa (钢)b × h = 40 × 50 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
PL = 1.5 md = 50 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。

L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)d = 50 mm
σcr = MPa
11.机械振动中等
tx12 mm2 个周期8.2 mm

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 12 mm 之后 2 个周期出现峰值 8.2 mm。 求阻尼比 ζ。

x0 = 12 mmx2 = 8.2 mmn = 2
ζ =
12.机械振动困难
k1​ = 30k2​ = 10m = 20 kg

一个 20 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 30 kN/m 和 k₂ = 10 kN/m。质量块保持水平。 忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。

m = 20 kgk1 = 30 kN/mk2 = 10 kN/m
fn = Hz

3溶液

1.齿轮与齿轮系

答案: T2 = 35.74 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 2200/150.8 = 14.59 N·m

输出扭矩

T2 = 14.59·30/12·0.98 = 35.74 N·m

答案

T2 = 35.74 N·m
2.齿轮与齿轮系

答案: ND = 30

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

中间轴转速

nB = nC = 2880·16/20 = 2304 rpm

齿轮 D 的齿数

ND = C·nC/nout = 16·2304/1229 = 30

答案

ND = 30
3.轴的扭转

答案: φ = 0.7183 °

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

扭转角

φ = TL/(GJ) = 100·1000·3000/(39000·613592) = 0.01254 rad
φ = 0.01254·180/π = 0.7183°

答案

φ = 0.7183°
4.轴的扭转

答案: do = 59.05 mm

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 50000/52.36 = 954.9 N·m

由容许应力求外径

T = 954.9 N·m = 954930 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.8⁴ = 0.5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·954930/(π·40·0.5904)) = 59.05 mm
di = 0.8·59.05 = 47.24 mm

答案

do = 59.05 mm

实心轴需要 d = 49.54 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。

5.莫尔圆与应力变换

答案: τxy = 22.36 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

所需半径

C = (140 + 100)/2 = 120 MPa
R = σ1 − C = 150 − 120 = 30 MPa
σxyCσ1​σ2​

切应力

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(30² − 20²) = 22.36 MPa

答案

τxy = 22.36 MPa
6.莫尔圆与应力变换

答案: n = 2.5

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。

στxyCσ1​σ2​

主应力

C = −40 MPa, R = 50 MPa
σ1 = 10 MPa, σ2 = −90 MPa, σ3 = 0

特雷斯卡

σmax − σmin = 100 MPa
n = 250/100 = 2.5

答案

n = 2.5

n > 1 表示该点不屈服；特雷斯卡准则比冯·米塞斯准则稍保守。

7.轴向应力与应变

答案: P = 25.49 kN

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

A₁ = 490.9 mm², A₂ = 706.9 mm²

柔度

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·490.9) = 5.093 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·706.9) = 4.716 × 10⁻⁶ mm/N

载荷

P = 0.25/9.809 × 10⁻⁶ = 25488 N = 25.49 kN

答案

P = 25.49 kN
8.轴向应力与应变

答案: σ2 = 16.06 MPa

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

刚度

k₁ = 200000·314.2/400 = 157080 N/mm
k₂ = 110000·2827/200 = 1.555 × 10⁶ N/mm

第 2 段的份额

F2 = 50000·1.555 × 10⁶/1.712 × 10⁶ = 45413 N

应力

σ2 = 45413/2827 = 16.06 MPa （压缩）

答案

σ2 = 16.06 MPa
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 14.62 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

Imin = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

计算长度

KL = 1·6000 = 6000 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/6000² = 14622 N = 14.62 kN

答案

Pcr = 14.62 kN
10.柱的屈曲

答案: σcr = 11.99 MPa

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

回转半径和长细比

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 2·1500 = 3000 mm
KL/r = 3000/12.5 = 240

临界应力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/240² = 11.99 MPa

答案

σcr = 11.99 MPa
11.机械振动

答案: ζ = 0.03029

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/2)·ln(12/8.2) = 0.1904

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1904/√(39.48 + 0.03625) = 0.03029

答案

ζ = 0.03029
12.机械振动

答案: fn = 7.118 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k1 + k2。

keq = 30 + 10 = 40 kN/m

固有频率

ωn = √(40000/20) = 44.72 rad/s
fn = 44.72/(2π) = 7.118 Hz

答案

fn = 7.118 Hz

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