齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
两根平行轴相距 54 mm。须用一对模数为 1.5 mm、减速比为 2 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。 大齿轮须有多少个齿 N2？
a = 54 mmm = 1.5 mmi = 2
N2 =
2.齿轮与齿轮系困难
在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（18 齿）以 3000 rpm 转动，驱动齿轮 B（20 齿）。齿轮 C（16 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（25 齿）。求输出转速 nout。
nin = 3000 rpmA = 18B = 20C = 16D = 25
nout = rpm
3.轴的扭转中等
一根黄铜实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 750 N·md = 40 mmL = 2.5 mG = 39 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根实心轴需在 1500 rpm 下传递 50 kW，且切应力不超过 50 MPa。求满足要求的最小直径 d。
P = 50 kWN = 1500 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 40 MPa，σᵧ = 100 MPa，τₓᵧ = 30 MPa，σz = 0。求该点的绝对最大切应力 τabs（考虑三维中所有平面）。
σx = 40 MPaσy = 100 MPaτxy = 30 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = −40 MPa，σᵧ = 30 MPa，τₓᵧ = −40 MPa（σz = 0）。 材料的屈服强度为 275 MPa。按冯·米塞斯（畸变能）准则求防止屈服的安全系数 n。
σx = −40 MPaσy = 30 MPaτxy = −40 MPaσY = 275 MPa
n =
7.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 30 mm，长 500 mm，E = 200 GPa）与一段青铜（直径 50 mm，长 500 mm，E = 110 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.5 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPa第 2 段: 青铜, Ø50 mm, 500 mm, E = 110 GPaδ = 0.5 mm
P = kN
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 75 kN第 1 段：Ø25 mm，1.5 m，黄铜（E = 100 GPa）第 2 段：Ø20 mm，1.5 m，铜（E = 117 GPa）
σmax = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2 mE = 70 GPa (铝)b × h = 50 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 105 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。
P = 105 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.机械振动中等
在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 12 mm 之后 3 个周期出现峰值 1.2 mm。 求阻尼比 ζ。
x0 = 12 mmx3 = 1.2 mmn = 3
ζ =
12.机械振动困难
一个 20 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 12 kN/m 和 k₂ = 10 kN/m。质量块保持水平。 忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 20 kgk1 = 12 kN/mk2 = 10 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: N2 = 48
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
总齿数
N1 + N2 = 2a/m = 2·54/1.5 = 72
按传动比分配
N1 = 72/(1 + 2) = 24
N2 = 2·24 = 48
答案
N2 = 48
2.齿轮与齿轮系
答案: nout = 1728 rpm
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
第一级
nB = 3000·18/20 = 2700 rpm = nC
第二级
nout = 2700·16/25 = 1728 rpm
答案
nout = 1728 rpm
总传动比 = 1.736 : 1
3.轴的扭转
答案: φ = 10.96 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 750·1000·2500/(39000·251327) = 0.1913 rad
φ = 0.1913·180/π = 10.96°
答案
φ = 10.96°
4.轴的扭转
答案: d = 31.89 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 50000/157.1 = 318.3 N·m
由许用应力求直径
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·318310/(π·50)) = 31.89 mm
答案
d = 31.89 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
5.莫尔圆与应力变换
答案: τabs = 56.21 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 在三维中，绝对最大切应力为三个主应力中 (σmax − σmin)/2；平面应力状态下第三个主应力为零。
面内主应力
C = 70 MPa, R = √((−30)² + 30²) = 42.43 MPa
σ1 = 112.4 MPa, σ2 = 27.57 MPa, σz = 0
三个圆中最大的
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(84.85, 112.4, 27.57)/2 = 56.21 MPa
答案
τabs = 56.21 MPa
这里由面外的圆控制：绝对最大值大于面内最大值 R。
6.莫尔圆与应力变换
答案: n = 2.983
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。
主应力
C = −5 MPa, R = 53.15 MPa
σ1 = 48.15 MPa, σ2 = −58.15 MPa, σ3 = 0
冯·米塞斯
σvM = √(48.15² − 48.15·(−58.15) + (−58.15)²) = 92.2 MPa
n = 275/92.2 = 2.983
答案
n = 2.983
n > 1 表示该点不屈服；特雷斯卡准则比冯·米塞斯准则稍保守。
7.轴向应力与应变
答案: P = 85.44 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 706.9 mm², A₂ = 1963 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706.9) = 3.537 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(110000·1963) = 2.315 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.5/5.852 × 10⁻⁶ = 85444 N = 85.44 kN
答案
P = 85.44 kN
8.轴向应力与应变
答案: σmax = 238.7 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 152.8 MPa
σ2 = 238.7 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 238.7 MPa
答案
σmax = 238.7 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 26.99 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴
计算长度
KL = 2·2000 = 4000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/4000² = 26987 N = 26.99 kN
答案
Pcr = 26.99 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 76.74 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2·105000 = 210000 N
KL = 2·2000 = 4000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 76.74 mm
答案
d = 76.74 mm
校核：长细比 KL/r 为 208.5，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: ζ = 0.1213
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
对数衰减率
δ = (1/3)·ln(12/1.2) = 0.7675
阻尼比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.7675/√(39.48 + 0.5891) = 0.1213
答案
ζ = 0.1213
12.机械振动
答案: fn = 5.279 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k1 + k2。
keq = 12 + 10 = 22 kN/m
固有频率
ωn = √(22000/20) = 33.17 rad/s
fn = 33.17/(2π) = 5.279 Hz
答案
fn = 5.279 Hz
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