齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一条皮带绕在一个以 720 rpm 转动、直径 80 mm 的主动轮上。紧边张力为 500 N，松边张力为 125 N。求传递的功率 P，单位 kW。
d1 = 80 mmn1 = 720 rpmT1 = 500 NT2 = 125 N
P = kW
2.齿轮与齿轮系困难
一台 1.1 kW、1440 rpm 的电动机驱动齿轮 A（15 齿），A 与齿轮 B（80 齿）啮合。与 B 同轴的齿轮 C（15 齿）驱动输出轴上的齿轮 D（40 齿）。每对齿轮啮合的效率为 96%。求输出转矩 Tout。
P = 1.1 kWnin = 1440 rpmA = 15B = 80C = 15D = 40ηmesh = 96%
Tout = N·m
3.轴的扭转中等
一根铝实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 200 N·md = 20 mmL = 0.8 mG = 26 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根实心铝轴在 1450 rpm 下传递 75 kW。切应力不得超过 40 MPa，每 m 长度的扭转角不得超过 0.25°。求同时满足两个限值的最小直径 d。
P = 75 kWN = 1450 rpmτallow = 40 MPaθallow = 0.25°/mG = 26 GPa
d = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 70 MPa，σᵧ = −10 MPa，τₓᵧ = −20 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = 70 MPaσy = −10 MPaτxy = −20 MPa
θp = °
6.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 40 MPa，σᵧ = −50 MPa，τₓᵧ = 60 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 30° 的截面上的切应力 τθ（正方向与 τₓᵧ 相同）。
σx = 40 MPaσy = −50 MPaτxy = 60 MPaθ = 30°
τθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
求黄铜杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 75 kNd = 16 mmL = 2.5 mE = 100 GPa
ε = µε
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 80 kN第 1 段：Ø40 mm，0.5 m，钢（E = 200 GPa）第 2 段：Ø20 mm，2 m，钢（E = 200 GPa）
δ = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 6 mE = 70 GPa (铝)d = 60 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 4 mE = 70 GPa (铝)d = 40 mm
σcr = MPa
11.机械振动中等
一个 50 kg 的质量块挂在刚度为 50 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.35。求其自由振动的有阻尼固有频率 fd，以 Hz 计。
m = 50 kgk = 50 kN/mζ = 0.35
fd = Hz
12.机械振动困难
一个 50 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 30 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 50 kN/m 和 k₂ = 100 kN/m 悬挂；杆保持水平。 忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 50 kgk1 = 50 kN/mk2 = 100 kN/mk3 = 30 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: P = 1.131 kW
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
皮带速度
v = 3.016 m/s
功率
P = (500 − 125)·3.016 = 1131 W = 1.131 kW
答案
P = 1.131 kW
2.齿轮与齿轮系
答案: Tout = 95.61 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
输出转速
nout = 1440·(15/80)·(15/40) = 101.3 rpm
ωout = 2π·101.3/60 = 10.6 rad/s
输出功率和转矩
Pout = 1100·0.96² = 1014 W
Tout = Pout/ωout = 1014/10.6 = 95.61 N·m
答案
Tout = 95.61 N·m
3.轴的扭转
答案: φ = 22.45 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 200·1000·800/(26000·15708) = 0.3918 rad
φ = 0.3918·180/π = 22.45°
答案
φ = 22.45°
4.轴的扭转
答案: d = 81.61 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 75000/151.8 = 493.9 N·m
按强度求直径
T = 493.9 N·m = 493929 N·mm
dτ = ∛(16·493929/(π·40)) = 39.77 mm
按刚度求直径
θ = 0.25·π/180/1000 = 4.363 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·493929/(π·26000·4.363 × 10⁻⁶))1/4 = 81.61 mm
控制直径
两个限值都必须满足，所以较大的直径起控制作用。
d = max(39.77, 81.61) = 81.61 mm
答案
d = 81.61 mm
这里由刚度控制。
5.莫尔圆与应力变换
答案: θp = −13.28 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·−20, 70 − −10) = −26.57°
单元体上的角度
θp = −13.28°
答案
θp = −13.28°
逆时针方向的角度为正。
6.莫尔圆与应力变换
答案: τθ = −8.971 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
τθ = −45·0.866 + 60·0.5 = −8.971 MPa
答案
τθ = −8.971 MPa
7.轴向应力与应变
答案: ε = 3730 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 75·1000/201.1 = 373 MPa
应变（胡克定律）
E for 黄铜 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 373/100000 = 0.00373 = 3730 µε
答案
ε = 3730 µε
8.轴向应力与应变
答案: δ = 2.706 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 63.66 MPa
σ2 = 254.6 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 63.66·500/200000 = 0.1592 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 254.6·2000/200000 = 2.546 mm
δ = δ1 + δ2 = 2.706 mm
答案
δ = 2.706 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 24.92 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/4200² = 24916 N = 24.92 kN
答案
Pcr = 24.92 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 4.318 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
回转半径和长细比
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 1·4000 = 4000 mm
KL/r = 4000/10 = 400
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4.318 MPa
答案
σcr = 4.318 MPa
11.机械振动
答案: fd = 4.715 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
无阻尼固有频率
ωn = √(50000/50) = 31.62 rad/s
fn = 31.62/(2π) = 5.033 Hz
有阻尼固有频率
fd = fn·√(1 − ζ²) = 5.033·√(1 − 0.35²) = 4.715 Hz
答案
fd = 4.715 Hz
12.机械振动
答案: fn = 3.559 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
只有 k1 和 k2 是并联的。这一对与 k3 串联，所以要按倒数组合。
k12 = 50 + 100 = 150 kN/m
keq = 150·30/(150 + 30) = 25 kN/m
固有频率
ωn = √(25000/50) = 22.36 rad/s
fn = 22.36/(2π) = 3.559 Hz
答案
fn = 3.559 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design