齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 1.1 kW 的电动机以 1450 rpm 运转，驱动一个齿数为 24 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 48 的大齿轮啮合。 该齿轮副的效率为 95%。 求电动机轴上的扭矩 T1。
P = 1.1 kWn1 = 1450 rpmN1 = 24N2 = 48η = 95%
T1 = N·m
2.齿轮与齿轮系困难
一条开口皮带连接一个 80 mm 的带轮和一个 250 mm 的带轮，二者中心相距 600 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。
d1 = 80 mmd2 = 250 mmC = 600 mm
θ = °
3.轴的扭转中等
在扭转试验中，一根直径 12 mm 的实心试件受 20 N·m 的扭矩作用。标距 300 mm 两端的相对转角为 4.33°（材料仍处于弹性范围）。求材料的切变模量 G。
T = 20 N·md = 12 mmL = 300 mmφ = 4.33°
G = GPa
4.轴的扭转困难
一根空心轴在 500 rpm 下传递 100 kW。求轴中的最大切应力 τmax。
P = 100 kWN = 500 rpmdo = 100 mmdi = 70 mm
τmax = MPa
5.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = −20 MPa，σᵧ = 60 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = −20 MPaσy = 60 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
6.莫尔圆与应力变换困难
一个薄壁圆柱形储罐，内径 600 mm，壁厚 10 mm，所盛气体的表压为 1.2 MPa。它由钢板沿与圆柱轴线成 60° 的螺旋焊缝焊接而成。 求作用在焊缝上（垂直于焊缝）的正应力 σn。
D = 600 mmt = 10 mmp = 1.2 MPaα = 60°
σn = MPa
7.轴向应力与应变中等
求黄铜杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 20 kNd = 30 mmL = 1 mE = 100 GPa
ε = µε
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 20 kN第 1 段：Ø40 mm，2 m，黄铜（E = 100 GPa）第 2 段：Ø20 mm，1.5 m，钢（E = 200 GPa）
δ = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 50 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，两端固定。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 5 mE = 200 GPa (钢)d = 80 mm
σcr = MPa
11.机械振动中等
一个 50 kg 的质量块由刚度为 40 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 570 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。
m = 50 kgk = 40 kN/mc = 570 N·s/m
ζ =
12.机械振动困难
一个 100 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 100 kN/m，下弹簧 k₂ = 60 kN/m。 求弹簧系统的等效刚度 keq，以 kN/m 计。
m = 100 kgk1 = 100 kN/mk2 = 60 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: T1 = 7.244 N·m
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
电动机扭矩
ω₁ = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1100/151.8 = 7.244 N·m
答案
T1 = 7.244 N·m
2.齿轮与齿轮系
答案: θ = 163.7 °
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
皮带角
asin(0.1417) = 8.144°
包角
θ = 180 − 2·8.144 = 163.7°
答案
θ = 163.7°
3.轴的扭转
答案: G = 39 GPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩和角度
J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴
φ = 4.33·π/180 = 0.07557 rad
剪切模量
T = 20 N·m = 20000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 20000·300/(2036·0.07557) = 39000 MPa
G = 39 GPa
答案
G = 39 GPa
作比较：钢 ≈ 80 GPa，黄铜 ≈ 39 GPa，铝 ≈ 26 GPa。
4.轴的扭转
答案: τmax = 12.8 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 100000/52.36 = 1910 N·m
极惯性矩
J = π(100⁴ − 70⁴)/32 = 7.46 × 10⁶ mm⁴
最大切应力
τmax = T·(do/2)/J = 1.91 × 10⁶·50/7.46 × 10⁶ = 12.8 MPa
答案
τmax = 12.8 MPa
5.莫尔圆与应力变换
答案: θp = 71.57 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·30, −20 − 60) = 143.1°
单元体上的角度
θp = 71.57°
答案
θp = 71.57°
逆时针方向的角度为正。
6.莫尔圆与应力变换
答案: σn = 22.5 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 薄壁圆筒：环向应力 σh = pr/t，轴向应力 σa = pr/(2t)；它们就是筒壁中的主应力。
筒壁应力
r = 600/2 = 300 mm
σh = pr/t = 1.2·300/10 = 36 MPa
σa = pr/(2t) = 18 MPa
变换到焊缝
取 x 沿轴线 (σa)，y 沿环向 (σh)。焊缝的法线与轴线成 90° − α。
σn = 18·sin²60° + 36·cos²60° = 22.5 MPa
答案
σn = 22.5 MPa
7.轴向应力与应变
答案: ε = 282.9 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 20·1000/706.9 = 28.29 MPa
应变（胡克定律）
E for 黄铜 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 28.29/100000 = 0.0002829 = 282.9 µε
答案
ε = 282.9 µε
8.轴向应力与应变
答案: δ = 0.7958 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 15.92 MPa
σ2 = 63.66 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 15.92·2000/100000 = 0.3183 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 63.66·1500/200000 = 0.4775 mm
δ = δ1 + δ2 = 0.7958 mm
答案
δ = 0.7958 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 115.1 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1.042 × 10⁶ mm⁴
计算长度
KL = 1·2500 = 2500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1.042 × 10⁶/2500² = 115145 N = 115.1 kN
答案
Pcr = 115.1 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 126.3 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
回转半径和长细比
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
KL/r = 2500/20 = 125
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/125² = 126.3 MPa
答案
σcr = 126.3 MPa
11.机械振动
答案: ζ = 0.2015
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
临界阻尼
cc = 2·√(k·m) = 2·√(40000·50) = 2828 N·s/m
阻尼比
ζ = c/cc = 570/2828 = 0.2015
答案
ζ = 0.2015
ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。
12.机械振动
答案: keq = 37.5 kN/m
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/100 + 1/60 → keq = 100·60/(100 + 60) = 37.5 kN/m
答案
keq = 37.5 kN/m
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