齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一个 160 mm 的带轮以 1500 rpm 通过皮带驱动一个 400 mm 的带轮，打滑率为 2 %。求从动轮的转速 n2。
n1 = 1500 rpmd1 = 160 mmd2 = 400 mms = 2 %
n2 = rpm
2.齿轮与齿轮系困难
在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（15 齿）以 3000 rpm 转动，驱动齿轮 B（30 齿）。齿轮 C（50 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（72 齿）。求输出转速 nout。
nin = 3000 rpmA = 15B = 30C = 50D = 72
nout = rpm
3.轴的扭转中等
一根阶梯形实心钢轴在 A 端固定。AB 段直径 50 mm，长 3 m；BC 段直径 20 mm，长 1.2 m。自由端 C 作用 250 N·m 的扭矩。 求端部 C 的扭转角 φC，以度表示。
T = 250 N·md1 = 50 mm, L1 = 3 md2 = 20 mm, L2 = 1.2 mG = 80 GPa
φC = °
4.轴的扭转困难
一根实心黄铜轴在 1000 rpm 下传递 15 kW。切应力不得超过 75 MPa，每 m 长度的扭转角不得超过 0.5°。求同时满足两个限值的最小直径 d。
P = 15 kWN = 1000 rpmτallow = 75 MPaθallow = 0.5°/mG = 39 GPa
d = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 50 MPa，σᵧ = −80 MPa，τₓᵧ = −40 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = 50 MPaσy = −80 MPaτxy = −40 MPa
θp = °
6.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 100 MPa，σᵧ = 70 MPa，τₓᵧ = 50 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴顺时针转过 20° 的截面上的正应力 σθ。
σx = 100 MPaσy = 70 MPaτxy = 50 MPaθ = -20°
σθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
一根钢杆（直径 25 mm，E = 200 GPa）放在一根铝管（外径 100 mm，内径 50 mm，E = 70 GPa）内。二者长度均为 300 mm，在刚性板之间被 300 kN 的力一起压缩。 求缩短量 δ。
P = 300 kN杆: Ø25 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 300 mm
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 20 kN第 1 段：Ø40 mm，2 m，黄铜（E = 100 GPa）第 2 段：Ø16 mm，1 m，铜（E = 117 GPa）
σmax = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 3 mE = 70 GPa (铝)b × h = 50 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝实心圆柱，两端固定。它需承受 45 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。
P = 45 kNn = 2L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)
d = mm
11.机械振动中等
一个 15 kg 的质量块由刚度为 50 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 140 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。
m = 15 kgk = 50 kN/mc = 140 N·s/m
ζ =
12.机械振动困难
一个 50 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 40 kN/m，下弹簧 k₂ = 10 kN/m。 忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 50 kgk1 = 40 kN/mk2 = 10 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: n2 = 588 rpm
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
无打滑时的转速
1500·160/400 = 600 rpm
有打滑
n2 = 600·0.98 = 588 rpm
答案
n2 = 588 rpm
2.齿轮与齿轮系
答案: nout = 1042 rpm
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
第一级
nB = 3000·15/30 = 1500 rpm = nC
第二级
nout = 1500·50/72 = 1042 rpm
答案
nout = 1042 rpm
总传动比 = 2.88 : 1
3.轴的扭转
答案: φC = 14.55 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J1 = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
J2 = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
各段的扭转角
T = 250 N·m = 250000 N·mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 250000·3000/(80000·613592) = 0.01528 rad
φBC = 250000·1200/(80000·15708) = 0.2387 rad
总扭转角
φC = 0.01528 + 0.2387 = 0.254 rad = 14.55°
答案
φC = 14.55°
4.轴的扭转
答案: d = 45.5 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 15000/104.7 = 143.2 N·m
按强度求直径
T = 143.2 N·m = 143239 N·mm
dτ = ∛(16·143239/(π·75)) = 21.35 mm
按刚度求直径
θ = 0.5·π/180/1000 = 8.727 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·143239/(π·39000·8.727 × 10⁻⁶))1/4 = 45.5 mm
控制直径
两个限值都必须满足，所以较大的直径起控制作用。
d = max(21.35, 45.5) = 45.5 mm
答案
d = 45.5 mm
这里由刚度控制。
5.莫尔圆与应力变换
答案: θp = −15.8 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·−40, 50 − −80) = −31.61°
单元体上的角度
θp = −15.8°
答案
θp = −15.8°
逆时针方向的角度为正。
6.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = 64.35 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = 85 + 15·0.766 + 50·−0.6428 = 64.35 MPa
答案
σθ = 64.35 MPa
7.轴向应力与应变
答案: δ = 0.1763 mm
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·490.9 + 70·10³·5890 = 5.105 × 10⁸ N
缩短量
δ = 300000·300/5.105 × 10⁸ = 0.1763 mm
答案
δ = 0.1763 mm
8.轴向应力与应变
答案: σmax = 99.47 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 15.92 MPa
σ2 = 99.47 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 99.47 MPa
答案
σmax = 99.47 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 79.96 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1.042 × 10⁶ mm⁴
计算长度
KL = 1·3000 = 3000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1.042 × 10⁶/3000² = 79962 N = 79.96 kN
答案
Pcr = 79.96 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 45.13 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2·45000 = 90000 N
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·1250²/(π³·70000))^(1/4) = 45.13 mm
答案
d = 45.13 mm
校核：长细比 KL/r 为 110.8，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: ζ = 0.08083
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
临界阻尼
cc = 2·√(k·m) = 2·√(50000·15) = 1732 N·s/m
阻尼比
ζ = c/cc = 140/1732 = 0.08083
答案
ζ = 0.08083
ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。
12.机械振动
答案: fn = 2.013 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/40 + 1/10 → keq = 40·10/(40 + 10) = 8 kN/m
固有频率
ωn = √(8000/50) = 12.65 rad/s
fn = 12.65/(2π) = 2.013 Hz
答案
fn = 2.013 Hz
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