齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 2.2 kW、1450 rpm 的电动机驱动一个 2 头的蜗杆。蜗轮有 40 个齿，传动效率为 65%。求蜗轮轴上的输出转矩 Tw。
z = 2Nw = 40n = 1450 rpmP = 2.2 kWη = 65%
Tw = N·m
2.齿轮与齿轮系困难
一条开口皮带连接一个 120 mm 的带轮和一个 200 mm 的带轮，二者中心相距 800 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。
d1 = 120 mmd2 = 200 mmC = 800 mm
θ = °
3.轴的扭转中等
一根空心轴须承受 100 N·m 的扭矩。 其内径为外径的 0.5 倍，切应力不得超过 50 MPa。求最小外径 do。
T = 100 N·mdi/do = 0.5τallow = 50 MPa
do = mm
4.轴的扭转困难
一根直径 50 mm 的实心钢轴在 A 端固定。距 A 1 m 的 B 处作用 1000 N·m 的扭矩，再往前 0.8 m 的自由端 C 处作用一个同向的 200 N·m 扭矩。 求轴中的最大切应力 τmax。
d = 50 mmTB = 1000 N·mTC = 200 N·mAB = 1 mBC = 0.8 m
τmax = MPa
5.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 110 MPa，σᵧ = −40 MPa，τₓᵧ = 50 MPa（拉为正）。 求面内最大切应力 τmax。
σx = 110 MPaσy = −40 MPaτxy = 50 MPa
τmax = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 30 MPa，σᵧ = 10 MPa，τₓᵧ = 60 MPa（σz = 0）。 材料的屈服强度为 275 MPa。按冯·米塞斯（畸变能）准则求防止屈服的安全系数 n。
σx = 30 MPaσy = 10 MPaτxy = 60 MPaσY = 275 MPa
n =
7.轴向应力与应变中等
一根钢杆（直径 40 mm，E = 200 GPa）放在一根铝管（外径 80 mm，内径 50 mm，E = 70 GPa）内。二者长度均为 300 mm，在刚性板之间被 250 kN 的力一起压缩。 求缩短量 δ。
P = 250 kN杆: Ø40 mm, E = 200 GPa管: Ø80/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 300 mm
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 90 kN第 1 段：Ø30 mm，1.5 m，铝（E = 70 GPa）第 2 段：Ø16 mm，2 m，黄铜（E = 100 GPa）
δ = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 3 mE = 200 GPa (钢)d = 25 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端固定。它需承受 5 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。
P = 5 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.机械振动中等
一个 500 kg 的质量块挂在刚度为 50 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.4。求其自由振动的有阻尼固有频率 fd，以 Hz 计。
m = 500 kgk = 50 kN/mζ = 0.4
fd = Hz
12.机械振动困难
一个 100 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 10 kN/m，下弹簧 k₂ = 40 kN/m。 求弹簧系统的等效刚度 keq，以 kN/m 计。
m = 100 kgk1 = 10 kN/mk2 = 40 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: Tw = 188.4 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
蜗轮转速
nw = n·z/Nw = 1450·2/40 = 72.5 rpm
输出扭矩
ωw = 2π·72.5/60 = 7.592 rad/s
Tw = η·P/ωw = 0.65·2200/7.592 = 188.4 N·m
答案
Tw = 188.4 N·m
2.齿轮与齿轮系
答案: θ = 174.3 °
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
皮带角
asin(0.05) = 2.866°
包角
θ = 180 − 2·2.866 = 174.3°
答案
θ = 174.3°
3.轴的扭转
答案: do = 22.15 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
由容许应力求外径
T = 100 N·m = 100000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·100000/(π·50·0.9375)) = 22.15 mm
di = 0.5·22.15 = 11.07 mm
答案
do = 22.15 mm
实心轴需要 d = 21.68 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。
4.轴的扭转
答案: τmax = 48.89 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
内扭矩
取 TC 的转向为正。
TBC = TC = 200 N·m
TAB = TC + TB = 200 + 1000 = 1200 N·m
最大切应力
内扭矩最大的一段应力最大（直径相同）。
|T|max = 1200 N·m
τmax = 16·1.2 × 10⁶/(π·50³) = 48.89 MPa
答案
τmax = 48.89 MPa
5.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 90.14 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
莫尔圆半径
τmax = R = √(((110 − −40)/2)² + 50²) = 90.14 MPa
答案
τmax = 90.14 MPa
6.莫尔圆与应力变换
答案: n = 2.564
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。
主应力
C = 20 MPa, R = 60.83 MPa
σ1 = 80.83 MPa, σ2 = −40.83 MPa, σ3 = 0
冯·米塞斯
σvM = √(80.83² − 80.83·(−40.83) + (−40.83)²) = 107.2 MPa
n = 275/107.2 = 2.564
答案
n = 2.564
n > 1 表示该点不屈服；特雷斯卡准则比冯·米塞斯准则稍保守。
7.轴向应力与应变
答案: δ = 0.161 mm
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·3063 = 4.657 × 10⁸ N
缩短量
δ = 250000·300/4.657 × 10⁸ = 0.161 mm
答案
δ = 0.161 mm
8.轴向应力与应变
答案: δ = 11.68 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 127.3 MPa
σ2 = 447.6 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 127.3·1500/70000 = 2.728 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 447.6·2000/100000 = 8.952 mm
δ = δ1 + δ2 = 11.68 mm
答案
δ = 11.68 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 4.205 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
计算长度
KL = 1·3000 = 3000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/3000² = 4205 N = 4.205 kN
答案
Pcr = 4.205 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 31.04 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2·5000 = 10000 N
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·10000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 31.04 mm
答案
d = 31.04 mm
校核：长细比 KL/r 为 386.5，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: fd = 1.459 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
无阻尼固有频率
ωn = √(50000/500) = 10 rad/s
fn = 10/(2π) = 1.592 Hz
有阻尼固有频率
fd = fn·√(1 − ζ²) = 1.592·√(1 − 0.4²) = 1.459 Hz
答案
fd = 1.459 Hz
12.机械振动
答案: keq = 8 kN/m
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/10 + 1/40 → keq = 10·40/(10 + 40) = 8 kN/m
答案
keq = 8 kN/m
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