齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
两根平行轴相距 72 mm。须用一对模数为 2 mm、减速比为 2 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。 小齿轮须有多少个齿 N1？
a = 72 mmm = 2 mmi = 2
N1 =
2.齿轮与齿轮系困难
在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（18 齿）以 960 rpm 转动，驱动齿轮 B（45 齿）。齿轮 C（18 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（24 齿）。求输出转速 nout。
nin = 960 rpmA = 18B = 45C = 18D = 24
nout = rpm
3.轴的扭转中等
一根钢实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 750 N·md = 30 mmL = 1 mG = 80 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根直径 60 mm 的实心黄铜轴两端 A 和 B 都固定在刚性墙上。在距 A 1.2 m、距 B 0.5 m 的 C 处施加 500 N·m 的扭矩。 求截面 C 的转角 φC，以度表示。
d = 60 mmT0 = 500 N·ma = 1.2 mb = 0.5 mG = 39 GPa
φC = °
5.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 20 MPa，σᵧ = −70 MPa，τₓᵧ = −30 MPa（拉为正）。 求面内最大切应力 τmax。
σx = 20 MPaσy = −70 MPaτxy = −30 MPa
τmax = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 10 MPa，σᵧ = 40 MPa，τₓᵧ = −20 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 45° 的截面上的正应力 σθ。
σx = 10 MPaσy = 40 MPaτxy = −20 MPaθ = 45°
σθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
求铜杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 90 kNd = 20 mmL = 3 mE = 117 GPa
ε = µε
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 40 kN第 1 段：Ø30 mm，1 m，铜（E = 117 GPa）第 2 段：Ø20 mm，2 m，黄铜（E = 100 GPa）
δ = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 50 × 80 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 6 mE = 70 GPa (铝)d = 50 mm
σcr = MPa
11.机械振动中等
一个 20 kg 的质量块由刚度为 100 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 570 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。
m = 20 kgk = 100 kN/mc = 570 N·s/m
ζ =
12.机械振动困难
一个 5 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 40 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 5 kN/m 和 k₂ = 12 kN/m 悬挂；杆保持水平。 忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 5 kgk1 = 5 kN/mk2 = 12 kN/mk3 = 40 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: N1 = 24
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
总齿数
N1 + N2 = 2a/m = 2·72/2 = 72
按传动比分配
N1 = 72/(1 + 2) = 24
答案
N1 = 24
2.齿轮与齿轮系
答案: nout = 288 rpm
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
第一级
nB = 960·18/45 = 384 rpm = nC
第二级
nout = 384·18/24 = 288 rpm
答案
nout = 288 rpm
总传动比 = 3.333 : 1
3.轴的扭转
答案: φ = 6.755 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 750·1000·1000/(80000·79522) = 0.1179 rad
φ = 0.1179·180/π = 6.755°
答案
φ = 6.755°
4.轴的扭转
答案: φC = 0.2038 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。 两端都固定时，仅靠静力学只能得到 TA + TB = T₀；第二个方程是变形协调条件（两部分在受荷截面处的扭转角相等）。
平衡和变形协调
TA + TB = 500
TA·a = TB·b
TA = 500·0.5/1.7 = 147.1 N·m
TB = 500·1.2/1.7 = 352.9 N·m
C 的转角
用 AC 段：它在 A 端固定，承受 TA。
J = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 147059·1200/(39000·1.272 × 10⁶) = 0.003556 rad = 0.2038°
答案
φC = 0.2038°
5.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 54.08 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
莫尔圆半径
τmax = R = √(((20 − −70)/2)² + −30²) = 54.08 MPa
答案
τmax = 54.08 MPa
6.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = 5 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = 25 + −15·0 + −20·1 = 5 MPa
答案
σθ = 5 MPa
7.轴向应力与应变
答案: ε = 2449 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 90·1000/314.2 = 286.5 MPa
应变（胡克定律）
E for 铜 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 286.5/117000 = 0.002449 = 2449 µε
答案
ε = 2449 µε
8.轴向应力与应变
答案: δ = 3.03 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 56.59 MPa
σ2 = 127.3 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 56.59·1000/117000 = 0.4837 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 127.3·2000/100000 = 2.546 mm
δ = δ1 + δ2 = 3.03 mm
答案
δ = 3.03 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 65.8 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴
计算长度
KL = 2·2500 = 5000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/5000² = 65797 N = 65.8 kN
答案
Pcr = 65.8 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 2.999 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
回转半径和长细比
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 1·6000 = 6000 mm
KL/r = 6000/12.5 = 480
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/480² = 2.999 MPa
答案
σcr = 2.999 MPa
11.机械振动
答案: ζ = 0.2015
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
临界阻尼
cc = 2·√(k·m) = 2·√(100000·20) = 2828 N·s/m
阻尼比
ζ = c/cc = 570/2828 = 0.2015
答案
ζ = 0.2015
ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。
12.机械振动
答案: fn = 7.774 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
只有 k1 和 k2 是并联的。这一对与 k3 串联，所以要按倒数组合。
k12 = 5 + 12 = 17 kN/m
keq = 17·40/(17 + 40) = 11.93 kN/m
固有频率
ωn = √(11930/5) = 48.85 rad/s
fn = 48.85/(2π) = 7.774 Hz
答案
fn = 7.774 Hz
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