齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一条皮带绕在一个以 720 rpm 转动、直径 120 mm 的主动轮上。紧边张力为 600 N，松边张力为 150 N。求传递的功率 P，单位 kW。
d1 = 120 mmn1 = 720 rpmT1 = 600 NT2 = 150 N
P = kW
2.齿轮与齿轮系困难
一条开口皮带把一个以 1500 rpm 转动、直径 125 mm 的主动轮与一个 250 mm 的带轮相连；中心距为 800 mm。摩擦系数为 0.35，紧边张力不得超过 1200 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。
d1 = 125 mmn1 = 1500 rpmd2 = 250 mmC = 800 mmμ = 0.35T1 = 1200 N
P = kW
3.轴的扭转中等
一根长 1.2 m 的实心钢轴承受 1000 N·m 的扭矩。两端之间的扭转角不得超过 1.5°。求满足该限值的最小直径 d。
T = 1000 N·mL = 1.2 mG = 80 GPaφallow = 1.5°
d = mm
4.轴的扭转困难
一根空心轴须在 3000 rpm 下传递 100 kW。 其内径为外径的 0.7 倍，切应力不得超过 75 MPa。求最小外径 do。
P = 100 kWN = 3000 rpmdi/do = 0.7τallow = 75 MPa
do = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 10 MPa，σᵧ = 80 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = 10 MPaσy = 80 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
6.莫尔圆与应力变换困难
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 20 MPa，σᵧ = 110 MPa，τₓᵧ = 60 MPa（σz = 0）。 材料的屈服强度为 460 MPa。按特雷斯卡（最大切应力）准则求防止屈服的安全系数 n。
σx = 20 MPaσy = 110 MPaτxy = 60 MPaσY = 460 MPa
n =
7.轴向应力与应变中等
一根钢杆（直径 25 mm，E = 200 GPa）放在一根铝管（外径 80 mm，内径 60 mm，E = 70 GPa）内。二者长度均为 500 mm，在刚性板之间被 80 kN 的力一起压缩。 求缩短量 δ。
P = 80 kN杆: Ø25 mm, E = 200 GPa管: Ø80/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 500 mm
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
一段钢（直径 20 mm，长 500 mm，E = 200 GPa）与一段铝（直径 60 mm，长 300 mm，E = 70 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 30 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。
第 1 段: 钢, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铝, Ø60 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 5 mE = 70 GPa (铝)d = 25 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 35 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。
P = 35 kNn = 3L = 2 mE = 70 GPa (铝)
d = mm
11.机械振动中等
一个 80 kg 的质量块由刚度为 200 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 4800 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。
m = 80 kgk = 200 kN/mc = 4800 N·s/m
ζ =
12.机械振动困难
一个 50 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 100 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 40 kN/m 和 k₂ = 20 kN/m 悬挂；杆保持水平。 忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 50 kgk1 = 40 kN/mk2 = 20 kN/mk3 = 100 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: P = 2.036 kW
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
皮带速度
v = 4.524 m/s
功率
P = (600 − 150)·4.524 = 2036 W = 2.036 kW
答案
P = 2.036 kW
2.齿轮与齿轮系
答案: P = 7.637 kW
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
包角
θ = 2.985 rad
松边张力
eμθ = e1.045 = 2.843, T₂ = 1200/2.843 = 422.1 N
功率
P = (1200 − 422.1)·9.817 = 7.637 kW
答案
P = 7.637 kW
3.轴的扭转
答案: d = 49.15 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
所需的极惯性矩
T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 1.2 m = 1200 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = 1.5·π/180 = 0.02618 rad
J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·1200/(80000·0.02618) = 572958 mm⁴
直径
d = (32J/π)1/4 = 49.15 mm
答案
d = 49.15 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
4.轴的扭转
答案: do = 30.53 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 100000/314.2 = 318.3 N·m
由容许应力求外径
T = 318.3 N·m = 318310 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·318310/(π·75·0.7599)) = 30.53 mm
di = 0.7·30.53 = 21.37 mm
答案
do = 30.53 mm
实心轴需要 d = 27.86 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。
5.莫尔圆与应力变换
答案: θp = 69.7 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·30, 10 − 80) = 139.4°
单元体上的角度
θp = 69.7°
答案
θp = 69.7°
逆时针方向的角度为正。
6.莫尔圆与应力变换
答案: n = 3.067
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。
主应力
C = 65 MPa, R = 75 MPa
σ1 = 140 MPa, σ2 = −10 MPa, σ3 = 0
特雷斯卡
σmax − σmin = 150 MPa
n = 460/150 = 3.067
答案
n = 3.067
n > 1 表示该点不屈服；特雷斯卡准则比冯·米塞斯准则稍保守。
7.轴向应力与应变
答案: δ = 0.1587 mm
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·490.9 + 70·10³·2199 = 2.521 × 10⁸ N
缩短量
δ = 80000·500/2.521 × 10⁸ = 0.1587 mm
答案
δ = 0.1587 mm
8.轴向应力与应变
答案: σ2 = 8.913 MPa
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
刚度
k₁ = 200000·314.2/500 = 125664 N/mm
k₂ = 70000·2827/300 = 659734 N/mm
第 2 段的份额
F2 = 30000·659734/785398 = 25200 N
应力
σ2 = 25200/2827 = 8.913 MPa （压缩）
答案
σ2 = 8.913 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 2.12 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/2500² = 2120 N = 2.12 kN
答案
Pcr = 2.12 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 49.63 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 3·35000 = 105000 N
KL = 0.7·2000 = 1400 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·105000·1400²/(π³·70000))^(1/4) = 49.63 mm
答案
d = 49.63 mm
校核：长细比 KL/r 为 112.8，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: ζ = 0.6
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
临界阻尼
cc = 2·√(k·m) = 2·√(200000·80) = 8000 N·s/m
阻尼比
ζ = c/cc = 4800/8000 = 0.6
答案
ζ = 0.6
ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。
12.机械振动
答案: fn = 4.359 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
只有 k1 和 k2 是并联的。这一对与 k3 串联，所以要按倒数组合。
k12 = 40 + 20 = 60 kN/m
keq = 60·100/(60 + 100) = 37.5 kN/m
固有频率
ωn = √(37500/50) = 27.39 rad/s
fn = 27.39/(2π) = 4.359 Hz
答案
fn = 4.359 Hz
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