齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 7.5 kW 的电动机以 960 rpm 运转，驱动一个齿数为 32 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 40 的大齿轮啮合。 该齿轮副的效率为 97%。 求齿轮轴上的输出扭矩 T2。
P = 7.5 kWn1 = 960 rpmN1 = 32N2 = 40η = 97%
T2 = N·m
2.齿轮与齿轮系困难
一台 2.2 kW、2900 rpm 的电动机驱动齿轮 A（20 齿），A 与齿轮 B（50 齿）啮合。与 B 同轴的齿轮 C（32 齿）驱动输出轴上的齿轮 D（80 齿）。每对齿轮啮合的效率为 97%。求输出转矩 Tout。
P = 2.2 kWnin = 2900 rpmA = 20B = 50C = 32D = 80ηmesh = 97%
Tout = N·m
3.轴的扭转中等
一根钢实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 1000 N·md = 40 mmL = 0.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根空心轴须在 1000 rpm 下传递 15 kW。 其内径为外径的 0.6 倍，切应力不得超过 80 MPa。求最小外径 do。
P = 15 kWN = 1000 rpmdi/do = 0.6τallow = 80 MPa
do = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = 10 MPa、σᵧ = 80 MPa。在最大主应力达到 105 MPa 之前，切应力 τxy（大小）最大可以是多少？
σx = 10 MPaσy = 80 MPaσ1 = 105 MPa
τxy = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
一根直径 50 mm 的实心轴承受750 N·m 的弯矩，同时承受 750 N·m 的扭矩。 在弯曲应力为拉应力且最大的上表面处， 求面内最大切应力 τmax。
d = 50 mmM = 750 N·mT = 750 N·m
τmax = MPa
7.轴向应力与应变中等
一根钢杆（直径 30 mm，E = 200 GPa）放在一根铝管（外径 80 mm，内径 50 mm，E = 70 GPa）内。二者长度均为 800 mm，在刚性板之间被 50 kN 的力一起压缩。 求缩短量 δ。
P = 50 kN杆: Ø30 mm, E = 200 GPa管: Ø80/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 800 mm
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 115 kN第 1 段：Ø25 mm，1 m，铝（E = 70 GPa）第 2 段：Ø20 mm，0.5 m，铜（E = 117 GPa）
σmax = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 25 × 40 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 45 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。
P = 45 kNn = 2.5L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)
d = mm
11.机械振动中等
在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 20 mm 之后一个周期出现峰值 12.1 mm。 求阻尼比 ζ。
x0 = 20 mmx1 = 12.1 mmn = 1
ζ =
12.机械振动困难
一个 50 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 25 kN/m 和 k₂ = 12 kN/m。质量块保持水平。 求弹簧系统的等效刚度 keq，以 kN/m 计。
m = 50 kgk1 = 25 kN/mk2 = 12 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: T2 = 90.46 N·m
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
电动机扭矩
ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 7500/100.5 = 74.6 N·m
输出扭矩
T2 = 74.6·40/32·0.97 = 90.46 N·m
答案
T2 = 90.46 N·m
2.齿轮与齿轮系
答案: Tout = 42.6 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
输出转速
nout = 2900·(20/50)·(32/80) = 464 rpm
ωout = 2π·464/60 = 48.59 rad/s
输出功率和转矩
Pout = 2200·0.97² = 2070 W
Tout = Pout/ωout = 2070/48.59 = 42.6 N·m
答案
Tout = 42.6 N·m
3.轴的扭转
答案: φ = 1.425 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 1000·1000·500/(80000·251327) = 0.02487 rad
φ = 0.02487·180/π = 1.425°
答案
φ = 1.425°
4.轴的扭转
答案: do = 21.88 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 15000/104.7 = 143.2 N·m
由容许应力求外径
T = 143.2 N·m = 143239 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.6⁴ = 0.8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·143239/(π·80·0.8704)) = 21.88 mm
di = 0.6·21.88 = 13.13 mm
答案
do = 21.88 mm
实心轴需要 d = 20.89 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。
5.莫尔圆与应力变换
答案: τxy = 48.73 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
所需半径
C = (10 + 80)/2 = 45 MPa
R = σ1 − C = 105 − 45 = 60 MPa
切应力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(60² − 35²) = 48.73 MPa
答案
τxy = 48.73 MPa
6.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 43.22 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
表面处的应力
σ = 32M/(πd³) = 32·750000/(π·50³) = 61.12 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·50³) = 30.56 MPa
莫尔圆
C = σ/2 = 30.56 MPa
R = √(30.56² + 30.56²) = 43.22 MPa
答案
τmax = 43.22 MPa
7.轴向应力与应变
答案: δ = 0.1124 mm
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·706.9 + 70·10³·3063 = 3.558 × 10⁸ N
缩短量
δ = 50000·800/3.558 × 10⁸ = 0.1124 mm
答案
δ = 0.1124 mm
8.轴向应力与应变
答案: σmax = 366.1 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 234.3 MPa
σ2 = 366.1 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 366.1 MPa
答案
σmax = 366.1 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 16.45 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴
计算长度
KL = 1·2500 = 2500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·52083/2500² = 16449 N = 16.45 kN
答案
Pcr = 16.45 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 43.73 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2.5·45000 = 112500 N
KL = 0.7·1500 = 1050 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·112500·1050²/(π³·70000))^(1/4) = 43.73 mm
答案
d = 43.73 mm
校核：长细比 KL/r 为 96.04，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: ζ = 0.07973
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
对数衰减率
δ = (1/1)·ln(20/12.1) = 0.5025
阻尼比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.5025/√(39.48 + 0.2525) = 0.07973
答案
ζ = 0.07973
12.机械振动
答案: keq = 37 kN/m
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k1 + k2。
keq = 25 + 12 = 37 kN/m
答案
keq = 37 kN/m
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