齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 0.75 kW 的电动机以 1440 rpm 运转，驱动一个齿数为 16 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 18 的大齿轮啮合。 该齿轮副的效率为 97%。 求齿轮轴上的输出扭矩 T2。
P = 0.75 kWn1 = 1440 rpmN1 = 16N2 = 18η = 97%
T2 = N·m
2.齿轮与齿轮系困难
在一个行星齿轮系中，太阳轮有 16 个齿，每个行星轮有 24 个齿。齿圈固定，太阳轮以 1500 rpm 驱动。求行星架的转速 nc。
Ns = 16Np = 24ns = 1500 rpm
nc = rpm
3.轴的扭转中等
一根长 1.5 m 的实心钢轴承受 100 N·m 的扭矩。两端之间的扭转角不得超过 1°。求满足该限值的最小直径 d。
T = 100 N·mL = 1.5 mG = 80 GPaφallow = 1°
d = mm
4.轴的扭转困难
一根空心轴须在 500 rpm 下传递 100 kW。 其内径为外径的 0.5 倍，切应力不得超过 80 MPa。求最小外径 do。
P = 100 kWN = 500 rpmdi/do = 0.5τallow = 80 MPa
do = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = 80 MPa、σᵧ = −60 MPa。在最大主应力达到 110 MPa 之前，切应力 τxy（大小）最大可以是多少？
σx = 80 MPaσy = −60 MPaσ1 = 110 MPa
τxy = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 10 MPa，σᵧ = 110 MPa，τₓᵧ = −20 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 45° 的截面上的正应力 σθ。
σx = 10 MPaσy = 110 MPaτxy = −20 MPaθ = 45°
σθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 40 mm，长 300 mm，E = 200 GPa）与一段铝（直径 30 mm，长 400 mm，E = 70 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.25 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铝, Ø30 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0.25 mm
P = kN
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 70 kN第 1 段：Ø30 mm，1.5 m，铜（E = 117 GPa）第 2 段：Ø20 mm，0.5 m，铝（E = 70 GPa）
δ = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 20 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 80 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。
P = 80 kNn = 2.5L = 6 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.机械振动中等
一个 5 kg 的质量块挂在刚度为 5 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.4。求其自由振动的有阻尼固有频率 fd，以 Hz 计。
m = 5 kgk = 5 kN/mζ = 0.4
fd = Hz
12.机械振动困难
一个 50 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 50 kN/m，下弹簧 k₂ = 25 kN/m。 求弹簧系统的等效刚度 keq，以 kN/m 计。
m = 50 kgk1 = 50 kN/mk2 = 25 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: T2 = 5.427 N·m
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
电动机扭矩
ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 750/150.8 = 4.974 N·m
输出扭矩
T2 = 4.974·18/16·0.97 = 5.427 N·m
答案
T2 = 5.427 N·m
2.齿轮与齿轮系
答案: nc = 300 rpm
行星齿轮系：太阳轮、齿圈和行星架的转速由威利斯方程 (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns 联系起来：从行星架上看，该轮系是以行星轮为惰轮的普通轮系。固定其中一个构件，轮系就成为一个单一传动比的减速器。
齿圈齿数
Nr = Ns + 2·Np = 16 + 2·24 = 64
齿圈固定时的威利斯方程
令 nr = 0，求行星架的转速。
(1500 − nc)/(0 − nc) = −64/16
nc = ns·Ns/(Ns + Nr) = 1500·16/80 = 300 rpm
答案
nc = 300 rpm
行星架与太阳轮转向相同。
3.轴的扭转
答案: d = 32.34 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
所需的极惯性矩
T = 100 N·m = 100000 N·mm
L = 1.5 m = 1500 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = 1·π/180 = 0.01745 rad
J = TL/(Gφ) = 100000·1500/(80000·0.01745) = 107430 mm⁴
直径
d = (32J/π)1/4 = 32.34 mm
答案
d = 32.34 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
4.轴的扭转
答案: do = 50.62 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 100000/52.36 = 1910 N·m
由容许应力求外径
T = 1910 N·m = 1.91 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1.91 × 10⁶/(π·80·0.9375)) = 50.62 mm
di = 0.5·50.62 = 25.31 mm
答案
do = 50.62 mm
实心轴需要 d = 49.54 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。
5.莫尔圆与应力变换
答案: τxy = 71.41 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
所需半径
C = (80 + (−60))/2 = 10 MPa
R = σ1 − C = 110 − 10 = 100 MPa
切应力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(100² − 70²) = 71.41 MPa
答案
τxy = 71.41 MPa
6.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = 40 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = 60 + −50·0 + −20·1 = 40 MPa
答案
σθ = 40 MPa
7.轴向应力与应变
答案: P = 26.95 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 1257 mm², A₂ = 706.9 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1.194 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·706.9) = 8.084 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.25/9.278 × 10⁻⁶ = 26946 N = 26.95 kN
答案
P = 26.95 kN
8.轴向应力与应变
答案: δ = 2.861 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 99.03 MPa
σ2 = 222.8 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 99.03·1500/117000 = 1.27 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 222.8·500/70000 = 1.592 mm
δ = δ1 + δ2 = 2.861 mm
答案
δ = 2.861 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 21.06 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴
计算长度
KL = 1·2500 = 2500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/2500² = 21055 N = 21.06 kN
答案
Pcr = 21.06 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 77.68 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2.5·80000 = 200000 N
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·200000·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 77.68 mm
答案
d = 77.68 mm
校核：长细比 KL/r 为 216.3，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: fd = 4.613 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
无阻尼固有频率
ωn = √(5000/5) = 31.62 rad/s
fn = 31.62/(2π) = 5.033 Hz
有阻尼固有频率
fd = fn·√(1 − ζ²) = 5.033·√(1 − 0.4²) = 4.613 Hz
答案
fd = 4.613 Hz
12.机械振动
答案: keq = 16.67 kN/m
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/50 + 1/25 → keq = 50·25/(50 + 25) = 16.67 kN/m
答案
keq = 16.67 kN/m
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