机械设计：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

齿轮与齿轮系

啮合齿轮
n1·N1 = n2·N2
扭矩
T2 = T1·(N2/N1)·η
功率
P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系
总传动比 = 各级传动比之积

轴的扭转

切应力
τ = T·r/J
实心轴
J = πd⁴/32
空心轴
J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角
φ = TL/(GJ)
功率
P = T·ω = 2πnT/60

方法

  1. 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
  2. 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
  3. 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
  4. 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

莫尔圆与应力变换

圆心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主应力
σ1,2 = C ± R
主方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜截面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

方法

  1. 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
  2. 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
  4. 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

轴向应力与应变

正应力
σ = F/A
应变
ε = ΔL/L
胡克定律
σ = E·ε
伸长量
ΔL = FL/(EA)
热应变
εT = α·ΔT

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

机械振动

固有频率
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
由静挠度求
ωn = √(g/δst)
临界阻尼
cc = 2√(km) = 2mωn
阻尼比
ζ = c/cc
阻尼固有频率
ωd = ωn√(1 − ζ²)
对数衰减率
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联
k = k1 + k2
弹簧串联
1/k = 1/k1 + 1/k2

2练习题

1.齿轮与齿轮系中等
d1​ = 150 mmd2​ = 250 mm1500 rpmn2​ = ?

一个 150 mm 的带轮以 1500 rpm 通过皮带驱动一个 250 mm 的带轮，打滑率为 2 %。求从动轮的转速 n2。

n1 = 1500 rpmd1 = 150 mmd2 = 250 mms = 2 %
n2 = rpm
2.齿轮与齿轮系困难
A = 30B = 72C = 25D = 40

一台 11 kW、1450 rpm 的电动机驱动齿轮 A（30 齿），A 与齿轮 B（72 齿）啮合。与 B 同轴的齿轮 C（25 齿）驱动输出轴上的齿轮 D（40 齿）。每对齿轮啮合的效率为 97%。求输出转矩 Tout。

P = 11 kWnin = 1450 rpmA = 30B = 72C = 25D = 40ηmesh = 97%
Tout = N·m
3.轴的扭转中等
T = 100 N·md = 25 mmL = 0.8 mφ = ?

一根黄铜实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。

T = 100 N·md = 25 mmL = 0.8 mG = 39 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
d = ?10 kW, 500 rpm

一根实心铝轴在 500 rpm 下传递 10 kW。切应力不得超过 50 MPa，每 m 长度的扭转角不得超过 0.75°。求同时满足两个限值的最小直径 d。

P = 10 kWN = 500 rpmτallow = 50 MPaθallow = 0.75°/mG = 26 GPa
d = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
σx​ = 150σy​ = 80τxy​ = −20MPa

受载零件中某点的应力为 σₓ = 150 MPa，σᵧ = 80 MPa，τₓᵧ = −20 MPa（拉为正）。 求面内最大切应力 τmax。

σx = 150 MPaσy = 80 MPaτxy = −20 MPa
τmax = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
σx​ = −60σy​ = 110τxy​ = −40MPa

受载零件中某点的应力为 σₓ = −60 MPa，σᵧ = 110 MPa，τₓᵧ = −40 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴顺时针转过 20° 的截面上的正应力 σθ。

σx = −60 MPaσy = 110 MPaτxy = −40 MPaθ = -20°
σθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
250 kNØ2570 GPaØ120/60800 mmδ = ?

一根钢杆（直径 25 mm，E = 200 GPa）放在一根铝管（外径 120 mm，内径 60 mm，E = 70 GPa）内。二者长度均为 800 mm，在刚性板之间被 250 kN 的力一起压缩。 求缩短量 δ。

P = 250 kN杆: Ø25 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 800 mm
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
P = ?Ø2070 GPaØ120/50800 mm

一根钢杆（直径 20 mm，E = 200 GPa，许用应力 120 MPa）放在一根铝管（外径 120 mm，内径 50 mm，E = 70 GPa，许用应力 100 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 Pmax。

杆: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPa管: Ø120/Ø50 mm, E = 70 GPa, σallow = 100 MPa
Pmax = kN
9.柱的屈曲中等
PL = 2.5 md = 20 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)d = 20 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
PL = 1.5 md = 50 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。

L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)d = 50 mm
σcr = MPa
11.机械振动中等
tx25 mm2 个周期9.1 mm

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 25 mm 之后 2 个周期出现峰值 9.1 mm。 求阻尼比 ζ。

x0 = 25 mmx2 = 9.1 mmn = 2
ζ =
12.机械振动困难
k1​ = 12k2​ = 100m = 10 kg

一个 10 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 12 kN/m，下弹簧 k₂ = 100 kN/m。 求弹簧系统的等效刚度 keq，以 kN/m 计。

m = 10 kgk1 = 12 kN/mk2 = 100 kN/m
keq = kN/m

3溶液

1.齿轮与齿轮系

答案: n2 = 882 rpm

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

无打滑时的转速

1500·150/250 = 900 rpm

有打滑

n2 = 900·0.98 = 882 rpm

答案

n2 = 882 rpm
2.齿轮与齿轮系

答案: Tout = 261.7 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

输出转速

nout = 1450·(30/72)·(25/40) = 377.6 rpm
ωout = 2π·377.6/60 = 39.54 rad/s

输出功率和转矩

Pout = 11000·0.97² = 10350 W
Tout = Pout/ωout = 10350/39.54 = 261.7 N·m

答案

Tout = 261.7 N·m
3.轴的扭转

答案: φ = 3.065 °

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

扭转角

φ = TL/(GJ) = 100·1000·800/(39000·38350) = 0.05349 rad
φ = 0.05349·180/π = 3.065°

答案

φ = 3.065°
4.轴的扭转

答案: d = 48.9 mm

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 10000/52.36 = 191 N·m

按强度求直径

T = 191 N·m = 190986 N·mm
dτ = ∛(16·190986/(π·50)) = 26.89 mm

按刚度求直径

θ = 0.75·π/180/1000 = 1.309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·190986/(π·26000·1.309 × 10⁻⁵))1/4 = 48.9 mm

控制直径

两个限值都必须满足，所以较大的直径起控制作用。

d = max(26.89, 48.9) = 48.9 mm

答案

d = 48.9 mm

这里由刚度控制。

5.莫尔圆与应力变换

答案: τmax = 40.31 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

σxyCτmax​

莫尔圆半径

τmax = R = √(((150 − 80)/2)² + −20²) = 40.31 MPa

答案

τmax = 40.31 MPa
6.莫尔圆与应力变换

答案: σθ = −14.4 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

变换公式

σθ = 25 + −85·0.766 + −40·−0.6428 = −14.4 MPa

答案

σθ = −14.4 MPa
7.轴向应力与应变

答案: δ = 0.289 mm

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

组合轴向刚度

ΣEA = 200·10³·490.9 + 70·10³·8482 = 6.919 × 10⁸ N

缩短量

δ = 250000·800/6.919 × 10⁸ = 0.289 mm

答案

δ = 0.289 mm
8.轴向应力与应变

答案: Pmax = 430.2 kN

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

组合轴向刚度

ΣEA = 200·10³·314.2 + 70·10³·9346 = 7.171 × 10⁸ N

控制应变

ε = min(0.0006, 0.001429) = 0.0006 (钢)

最大载荷

Pmax = 0.0006·7.171 × 10⁸ = 430241 N = 430.2 kN

答案

Pmax = 430.2 kN
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 3.473 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

计算长度

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1250² = 3473 N = 3.473 kN

答案

Pcr = 3.473 kN
10.柱的屈曲

答案: σcr = 137.1 MPa

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

回转半径和长细比

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 1·1500 = 1500 mm
KL/r = 1500/12.5 = 120

临界应力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/120² = 137.1 MPa

答案

σcr = 137.1 MPa
11.机械振动

答案: ζ = 0.08016

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/2)·ln(25/9.1) = 0.5053

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.5053/√(39.48 + 0.2553) = 0.08016

答案

ζ = 0.08016
12.机械振动

答案: keq = 10.71 kN/m

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k1 + 1/k2。

1/keq = 1/12 + 1/100 → keq = 12·100/(12 + 100) = 10.71 kN/m

答案

keq = 10.71 kN/m

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