齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 1.5 kW 的电动机以 1450 rpm 运转，驱动一个齿数为 50 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 60 的大齿轮啮合。 该齿轮副的效率为 98%。 求齿轮轴上的输出扭矩 T2。
P = 1.5 kWn1 = 1450 rpmN1 = 50N2 = 60η = 98%
T2 = N·m
2.齿轮与齿轮系困难
在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（32 齿）以 3000 rpm 转动，驱动齿轮 B（48 齿）。齿轮 C（20 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（45 齿）。求输出转速 nout。
nin = 3000 rpmA = 32B = 48C = 20D = 45
nout = rpm
3.轴的扭转中等
一根空心黄铜轴（外径 50 mm，内径 38 mm，长 0.5 m）一端固定，另一端受 2000 N·m 的扭矩作用。求扭转角 φ，以度表示。
T = 2000 N·mdo = 50 mmdi = 38 mmL = 0.5 mG = 39 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根直径 30 mm 的实心铝轴在 A 端固定。距 A 3 m 的 B 处作用 100 N·m 的扭矩，再往前 1.5 m 的自由端 C 处作用一个反向的 1000 N·m 扭矩。 求轴中的最大切应力 τmax。
d = 30 mmTB = 100 N·mTC = 1000 N·mAB = 3 mBC = 1.5 m
τmax = MPa
5.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 30 MPa，σᵧ = 120 MPa，τₓᵧ = −30 MPa（拉为正）。 求面内最大切应力 τmax。
σx = 30 MPaσy = 120 MPaτxy = −30 MPa
τmax = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
一个薄壁圆柱形储罐，内径 1200 mm，壁厚 6 mm，所盛气体的表压为 1.5 MPa。它由钢板沿与圆柱轴线成 25° 的螺旋焊缝焊接而成。 求作用在焊缝上（垂直于焊缝）的正应力 σn。
D = 1200 mmt = 6 mmp = 1.5 MPaα = 25°
σn = MPa
7.轴向应力与应变中等
求铜杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 85 kNd = 10 mmL = 2 mE = 117 GPa
ε = µε
8.轴向应力与应变困难
一段钢（直径 20 mm，长 300 mm，E = 200 GPa）与一段铜（直径 50 mm，长 200 mm，E = 120 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 50 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。
第 1 段: 钢, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铜, Ø50 mm, 200 mm, E = 120 GPaP = 50 kN
σ2 = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 5 mE = 200 GPa (钢)d = 80 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 6 mE = 70 GPa (铝)d = 60 mm
σcr = MPa
11.机械振动中等
一个 40 kg 的质量块由刚度为 15 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 930 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。
m = 40 kgk = 15 kN/mc = 930 N·s/m
ζ =
12.机械振动困难
一个 25 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 40 kN/m 和 k₂ = 5 kN/m。质量块保持水平。 求弹簧系统的等效刚度 keq，以 kN/m 计。
m = 25 kgk1 = 40 kN/mk2 = 5 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: T2 = 11.62 N·m
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
电动机扭矩
ω₁ = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1500/151.8 = 9.879 N·m
输出扭矩
T2 = 9.879·60/50·0.98 = 11.62 N·m
答案
T2 = 11.62 N·m
2.齿轮与齿轮系
答案: nout = 888.9 rpm
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
第一级
nB = 3000·32/48 = 2000 rpm = nC
第二级
nout = 2000·20/45 = 888.9 rpm
答案
nout = 888.9 rpm
总传动比 = 3.375 : 1
3.轴的扭转
答案: φ = 3.593 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴
扭转角
T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
L = 0.5 m = 500 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·500/(39000·408885) = 0.06271 rad
φ = 0.06271·180/π = 3.593°
答案
φ = 3.593°
4.轴的扭转
答案: τmax = 188.6 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
内扭矩
取 TC 的转向为正。
TBC = TC = 1000 N·m
TAB = TC − TB = 1000 − 100 = 900 N·m
最大切应力
内扭矩最大的一段应力最大（直径相同）。
|T|max = 1000 N·m
τmax = 16·1 × 10⁶/(π·30³) = 188.6 MPa
答案
τmax = 188.6 MPa
5.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 54.08 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
莫尔圆半径
τmax = R = √(((30 − 120)/2)² + −30²) = 54.08 MPa
答案
τmax = 54.08 MPa
6.莫尔圆与应力变换
答案: σn = 136.6 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 薄壁圆筒：环向应力 σh = pr/t，轴向应力 σa = pr/(2t)；它们就是筒壁中的主应力。
筒壁应力
r = 1200/2 = 600 mm
σh = pr/t = 1.5·600/6 = 150 MPa
σa = pr/(2t) = 75 MPa
变换到焊缝
取 x 沿轴线 (σa)，y 沿环向 (σh)。焊缝的法线与轴线成 90° − α。
σn = 75·sin²25° + 150·cos²25° = 136.6 MPa
答案
σn = 136.6 MPa
7.轴向应力与应变
答案: ε = 9250 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 85·1000/78.54 = 1082 MPa
应变（胡克定律）
E for 铜 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 1082/117000 = 0.00925 = 9250 µε
答案
ε = 9250 µε
8.轴向应力与应变
答案: σ2 = 21.62 MPa
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
刚度
k₁ = 200000·314.2/300 = 209440 N/mm
k₂ = 120000·1963/200 = 1.178 × 10⁶ N/mm
第 2 段的份额
F2 = 50000·1.178 × 10⁶/1.388 × 10⁶ = 42453 N
应力
σ2 = 42453/1963 = 21.62 MPa （压缩）
答案
σ2 = 21.62 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 324 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
计算长度
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2.011 × 10⁶/3500² = 323984 N = 324 kN
答案
Pcr = 324 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 4.318 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
回转半径和长细比
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 1·6000 = 6000 mm
KL/r = 6000/15 = 400
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4.318 MPa
答案
σcr = 4.318 MPa
11.机械振动
答案: ζ = 0.6003
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
临界阻尼
cc = 2·√(k·m) = 2·√(15000·40) = 1549 N·s/m
阻尼比
ζ = c/cc = 930/1549 = 0.6003
答案
ζ = 0.6003
ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。
12.机械振动
答案: keq = 45 kN/m
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k1 + k2。
keq = 40 + 5 = 45 kN/m
答案
keq = 45 kN/m
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