齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 11 kW 的电动机以 960 rpm 运转，驱动一个齿数为 25 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 30 的大齿轮啮合。 该齿轮副的效率为 95%。 求电动机轴上的扭矩 T1。
P = 11 kWn1 = 960 rpmN1 = 25N2 = 30η = 95%
T1 = N·m
2.齿轮与齿轮系困难
在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（20 齿）以 960 rpm 转动，驱动齿轮 B（40 齿）。齿轮 C（12 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D。输出轴须以 360 rpm 转动。齿轮 D 须有多少个齿 ND？
nin = 960 rpmA = 20B = 40C = 12nout = 360 rpm
ND =
3.轴的扭转中等
一根铝实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 500 N·md = 25 mmL = 0.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根直径 40 mm 的实心铝轴两端 A 和 B 都固定在刚性墙上。在距 A 2 m、距 B 2.5 m 的 C 处施加 1500 N·m 的扭矩。 求截面 C 的转角 φC，以度表示。
d = 40 mmT0 = 1500 N·ma = 2 mb = 2.5 mG = 26 GPa
φC = °
5.莫尔圆与应力变换中等
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 50 MPa，σᵧ = 80 MPa，τₓᵧ = −10 MPa，σz = 0。求该点的绝对最大切应力 τabs（考虑三维中所有平面）。
σx = 50 MPaσy = 80 MPaτxy = −10 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
一个薄壁圆柱形储罐，内径 600 mm，壁厚 5 mm，所盛气体的表压为 1.2 MPa。它由钢板沿与圆柱轴线成 25° 的螺旋焊缝焊接而成。 求作用在焊缝上（垂直于焊缝）的正应力 σn。
D = 600 mmt = 5 mmp = 1.2 MPaα = 25°
σn = MPa
7.轴向应力与应变中等
一根钢杆（直径 30 mm，E = 200 GPa）放在一根黄铜管（外径 120 mm，内径 60 mm，E = 100 GPa）内。二者长度均为 400 mm，在刚性板之间被 150 kN 的力一起压缩。 求缩短量 δ。
P = 150 kN杆: Ø30 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 400 mm
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
一段钢（直径 25 mm，长 400 mm，E = 200 GPa）与一段铜（直径 60 mm，长 400 mm，E = 120 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 20 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。
第 1 段: 钢, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铜, Ø60 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 20 kN
σ2 = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 3 mE = 70 GPa (铝)b × h = 30 × 50 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 1 mE = 70 GPa (铝)d = 30 mm
σcr = MPa
11.机械振动中等
一个 12 kg 的质量块由刚度为 80 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 100 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。
m = 12 kgk = 80 kN/mc = 100 N·s/m
ζ =
12.机械振动困难
一个 40 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 15 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 100 kN/m 和 k₂ = 5 kN/m 悬挂；杆保持水平。 忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 40 kgk1 = 100 kN/mk2 = 5 kN/mk3 = 15 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: T1 = 109.4 N·m
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
电动机扭矩
ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 11000/100.5 = 109.4 N·m
答案
T1 = 109.4 N·m
2.齿轮与齿轮系
答案: ND = 16
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
中间轴转速
nB = nC = 960·20/40 = 480 rpm
齿轮 D 的齿数
ND = C·nC/nout = 12·480/360 = 16
答案
ND = 16
3.轴的扭转
答案: φ = 14.37 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 500·1000·500/(26000·38350) = 0.2507 rad
φ = 0.2507·180/π = 14.37°
答案
φ = 14.37°
4.轴的扭转
答案: φC = 14.61 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。 两端都固定时，仅靠静力学只能得到 TA + TB = T₀；第二个方程是变形协调条件（两部分在受荷截面处的扭转角相等）。
平衡和变形协调
TA + TB = 1500
TA·a = TB·b
TA = 1500·2.5/4.5 = 833.3 N·m
TB = 1500·2/4.5 = 666.7 N·m
C 的转角
用 AC 段：它在 A 端固定，承受 TA。
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
G = 26 GPa = 26000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 833333·2000/(26000·251327) = 0.2551 rad = 14.61°
答案
φC = 14.61°
5.莫尔圆与应力变换
答案: τabs = 41.51 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 在三维中，绝对最大切应力为三个主应力中 (σmax − σmin)/2；平面应力状态下第三个主应力为零。
面内主应力
C = 65 MPa, R = √((−15)² + (−10)²) = 18.03 MPa
σ1 = 83.03 MPa, σ2 = 46.97 MPa, σz = 0
三个圆中最大的
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(36.06, 83.03, 46.97)/2 = 41.51 MPa
答案
τabs = 41.51 MPa
这里由面外的圆控制：绝对最大值大于面内最大值 R。
6.莫尔圆与应力变换
答案: σn = 65.57 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 薄壁圆筒：环向应力 σh = pr/t，轴向应力 σa = pr/(2t)；它们就是筒壁中的主应力。
筒壁应力
r = 600/2 = 300 mm
σh = pr/t = 1.2·300/5 = 72 MPa
σa = pr/(2t) = 36 MPa
变换到焊缝
取 x 沿轴线 (σa)，y 沿环向 (σh)。焊缝的法线与轴线成 90° − α。
σn = 36·sin²25° + 72·cos²25° = 65.57 MPa
答案
σn = 65.57 MPa
7.轴向应力与应变
答案: δ = 0.06063 mm
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·706.9 + 100·10³·8482 = 9.896 × 10⁸ N
缩短量
δ = 150000·400/9.896 × 10⁸ = 0.06063 mm
答案
δ = 0.06063 mm
8.轴向应力与应变
答案: σ2 = 5.486 MPa
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
刚度
k₁ = 200000·490.9/400 = 245437 N/mm
k₂ = 120000·2827/400 = 848230 N/mm
第 2 段的份额
F2 = 20000·848230/1.094 × 10⁶ = 15512 N
应力
σ2 = 15512/2827 = 5.486 MPa （压缩）
答案
σ2 = 5.486 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 17.62 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/2100² = 17624 N = 17.62 kN
答案
Pcr = 17.62 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 79.31 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
回转半径和长细比
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.7·1000 = 700 mm
KL/r = 700/7.5 = 93.33
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/93.33² = 79.31 MPa
答案
σcr = 79.31 MPa
11.机械振动
答案: ζ = 0.05103
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
临界阻尼
cc = 2·√(k·m) = 2·√(80000·12) = 1960 N·s/m
阻尼比
ζ = c/cc = 100/1960 = 0.05103
答案
ζ = 0.05103
ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。
12.机械振动
答案: fn = 2.883 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
只有 k1 和 k2 是并联的。这一对与 k3 串联，所以要按倒数组合。
k12 = 100 + 5 = 105 kN/m
keq = 105·15/(105 + 15) = 13.13 kN/m
固有频率
ωn = √(13125/40) = 18.11 rad/s
fn = 18.11/(2π) = 2.883 Hz
答案
fn = 2.883 Hz
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