机械设计：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

齿轮与齿轮系

啮合齿轮
n1·N1 = n2·N2
扭矩
T2 = T1·(N2/N1)·η
功率
P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系
总传动比 = 各级传动比之积

轴的扭转

切应力
τ = T·r/J
实心轴
J = πd⁴/32
空心轴
J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角
φ = TL/(GJ)
功率
P = T·ω = 2πnT/60

方法

  1. 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
  2. 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
  3. 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
  4. 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

莫尔圆与应力变换

圆心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主应力
σ1,2 = C ± R
主方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜截面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

方法

  1. 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
  2. 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
  4. 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

轴向应力与应变

正应力
σ = F/A
应变
ε = ΔL/L
胡克定律
σ = E·ε
伸长量
ΔL = FL/(EA)
热应变
εT = α·ΔT

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

机械振动

固有频率
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
由静挠度求
ωn = √(g/δst)
临界阻尼
cc = 2√(km) = 2mωn
阻尼比
ζ = c/cc
阻尼固有频率
ωd = ωn√(1 − ζ²)
对数衰减率
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联
k = k1 + k2
弹簧串联
1/k = 1/k1 + 1/k2

2练习题

1.齿轮与齿轮系中等
N1​N2​ = ?

两根平行轴相距 160 mm。须用一对模数为 4 mm、减速比为 4 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。 大齿轮须有多少个齿 N2？

a = 160 mmm = 4 mmi = 4
N2 =
2.齿轮与齿轮系困难
A = 40B = 72C = 15D = 50

一台 3 kW、960 rpm 的电动机驱动齿轮 A（40 齿），A 与齿轮 B（72 齿）啮合。与 B 同轴的齿轮 C（15 齿）驱动输出轴上的齿轮 D（50 齿）。每对齿轮啮合的效率为 96%。求输出转矩 Tout。

P = 3 kWnin = 960 rpmA = 40B = 72C = 15D = 50ηmesh = 96%
Tout = N·m
3.轴的扭转中等
T = 1000 N·md = 50 mmL = 1 mφ = ?

一根铝实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。

T = 1000 N·md = 50 mmL = 1 mG = 26 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
d = 30 mmT0​ = 100 N·mACBa = 2.5 mb = 0.8 m

一根直径 30 mm 的实心铝轴两端 A 和 B 都固定在刚性墙上。在距 A 2.5 m、距 B 0.8 m 的 C 处施加 100 N·m 的扭矩。 求截面 C 的转角 φC，以度表示。

d = 30 mmT0 = 100 N·ma = 2.5 mb = 0.8 mG = 26 GPa
φC = °
5.莫尔圆与应力变换中等
σx​ = 130σy​ = 60MPaτxy​ = ?

某点 σₓ = 130 MPa、σᵧ = 60 MPa。在最大主应力达到 190 MPa 之前，切应力 τxy（大小）最大可以是多少？

σx = 130 MPaσy = 60 MPaσ1 = 190 MPa
τxy = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
σx​ = −20σy​ = −30τxy​ = 30MPa

薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = −20 MPa，σᵧ = −30 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（σz = 0）。 材料的屈服强度为 355 MPa。按特雷斯卡（最大切应力）准则求防止屈服的安全系数 n。

σx = −20 MPaσy = −30 MPaτxy = 30 MPaσY = 355 MPa
n =
7.轴向应力与应变中等
Ø 16 mm钢1 mP = 65 kN

求钢杆在轴向荷载下的伸长量 δ。

P = 65 kNd = 16 mmL = 1 mE = 200 GPa
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
30 kN12400 mm400 mmØ25Ø40σ2​ = ?

一段钢（直径 25 mm，长 400 mm，E = 200 GPa）与一段黄铜（直径 40 mm，长 400 mm，E = 100 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 30 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。

第 1 段: 钢, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPa第 2 段: 黄铜, Ø40 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
9.柱的屈曲中等
PL = 1 md = 60 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 1 mE = 70 GPa (铝)d = 60 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
PL = 4 md = 50 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。

L = 4 mE = 70 GPa (铝)d = 50 mm
σcr = MPa
11.机械振动中等
k = 10 kN/mζ = 0.7m = 8 kg

一个 8 kg 的质量块挂在刚度为 10 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.7。求其自由振动的有阻尼固有频率 fd，以 Hz 计。

m = 8 kgk = 10 kN/mζ = 0.7
fd = Hz
12.机械振动困难
k1​ = 20k2​ = 10m = 100 kg

一个 100 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 20 kN/m 和 k₂ = 10 kN/m。质量块保持水平。 忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。

m = 100 kgk1 = 20 kN/mk2 = 10 kN/m
fn = Hz

3溶液

1.齿轮与齿轮系

答案: N2 = 64

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.

总齿数

N1 + N2 = 2a/m = 2·160/4 = 80

按传动比分配

N1 = 80/(1 + 4) = 16
N2 = 4·16 = 64

答案

N2 = 64
2.齿轮与齿轮系

答案: Tout = 165 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

输出转速

nout = 960·(40/72)·(15/50) = 160 rpm
ωout = 2π·160/60 = 16.76 rad/s

输出功率和转矩

Pout = 3000·0.96² = 2765 W
Tout = Pout/ωout = 2765/16.76 = 165 N·m

答案

Tout = 165 N·m
3.轴的扭转

答案: φ = 3.591 °

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

扭转角

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1000/(26000·613592) = 0.06268 rad
φ = 0.06268·180/π = 3.591°

答案

φ = 3.591°
4.轴的扭转

答案: φC = 1.68 °

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。 两端都固定时，仅靠静力学只能得到 TA + TB = T₀；第二个方程是变形协调条件（两部分在受荷截面处的扭转角相等）。

平衡和变形协调

TA + TB = 100
TA·a = TB·b
TA = 100·0.8/3.3 = 24.24 N·m
TB = 100·2.5/3.3 = 75.76 N·m

C 的转角

用 AC 段：它在 A 端固定，承受 TA。

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
G = 26 GPa = 26000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 24242·2500/(26000·79522) = 0.02931 rad = 1.68°

答案

φC = 1.68°
5.莫尔圆与应力变换

答案: τxy = 88.32 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

所需半径

C = (130 + 60)/2 = 95 MPa
R = σ1 − C = 190 − 95 = 95 MPa
στxyCσ1​σ2​

切应力

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(95² − 35²) = 88.32 MPa

答案

τxy = 88.32 MPa
6.莫尔圆与应力变换

答案: n = 5.836

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。

στxyCσ1​σ2​

主应力

C = −25 MPa, R = 30.41 MPa
σ1 = 5.414 MPa, σ2 = −55.41 MPa, σ3 = 0

特雷斯卡

σmax − σmin = 60.83 MPa
n = 355/60.83 = 5.836

答案

n = 5.836

n > 1 表示该点不屈服；特雷斯卡准则比冯·米塞斯准则稍保守。

7.轴向应力与应变

答案: δ = 1.616 mm

胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。

应力

A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 65·1000/201.1 = 323.3 MPa

应变（胡克定律）

E for 钢 = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 323.3/200000 = 0.001616 = 1616 µε

伸长量

δ = ε·L = 0.001616·1000 mm = 1.616 mm

答案

δ = 1.616 mm
8.轴向应力与应变

答案: σ2 = 13.4 MPa

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

刚度

k₁ = 200000·490.9/400 = 245437 N/mm
k₂ = 100000·1257/400 = 314159 N/mm

第 2 段的份额

F2 = 30000·314159/559596 = 16842 N

应力

σ2 = 16842/1257 = 13.4 MPa （压缩）

答案

σ2 = 13.4 MPa
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 109.9 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

计算长度

KL = 2·1000 = 2000 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/2000² = 109878 N = 109.9 kN

答案

Pcr = 109.9 kN
10.柱的屈曲

答案: σcr = 1.687 MPa

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

回转半径和长细比

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 2·4000 = 8000 mm
KL/r = 8000/12.5 = 640

临界应力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/640² = 1.687 MPa

答案

σcr = 1.687 MPa
11.机械振动

答案: fd = 4.018 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ωn = √(10000/8) = 35.36 rad/s
fn = 35.36/(2π) = 5.627 Hz

有阻尼固有频率

fd = fn·√(1 − ζ²) = 5.627·√(1 − 0.7²) = 4.018 Hz

答案

fd = 4.018 Hz
12.机械振动

答案: fn = 2.757 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k1 + k2。

keq = 20 + 10 = 30 kN/m

固有频率

ωn = √(30000/100) = 17.32 rad/s
fn = 17.32/(2π) = 2.757 Hz

答案

fn = 2.757 Hz

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