齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 3 kW 的电动机以 1500 rpm 运转，驱动一个齿数为 18 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 20 的大齿轮啮合。 该齿轮副的效率为 95%。 求齿轮轴上的输出扭矩 T2。
P = 3 kWn1 = 1500 rpmN1 = 18N2 = 20η = 95%
T2 = N·m
2.齿轮与齿轮系困难
一台 3 kW、960 rpm 的电动机驱动齿轮 A（30 齿），A 与齿轮 B（48 齿）啮合。与 B 同轴的齿轮 C（15 齿）驱动输出轴上的齿轮 D（24 齿）。每对齿轮啮合的效率为 98%。求输出转矩 Tout。
P = 3 kWnin = 960 rpmA = 30B = 48C = 15D = 24ηmesh = 98%
Tout = N·m
3.轴的扭转中等
一根黄铜实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 100 N·md = 50 mmL = 2.5 mG = 39 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根实心铝轴在 1000 rpm 下传递 30 kW。切应力不得超过 75 MPa，每 m 长度的扭转角不得超过 0.75°。求同时满足两个限值的最小直径 d。
P = 30 kWN = 1000 rpmτallow = 75 MPaθallow = 0.75°/mG = 26 GPa
d = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 80 MPa，σᵧ = 30 MPa，τₓᵧ = −50 MPa（拉为正）。 求面内最大切应力 τmax。
σx = 80 MPaσy = 30 MPaτxy = −50 MPa
τmax = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = −60 MPa，σᵧ = −80 MPa，τₓᵧ = −60 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 35° 的截面上的切应力 τθ（正方向与 τₓᵧ 相同）。
σx = −60 MPaσy = −80 MPaτxy = −60 MPaθ = 35°
τθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
求钢杆在轴向荷载下的伸长量 δ。
P = 65 kNd = 10 mmL = 1 mE = 200 GPa
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
一段钢（直径 30 mm，长 600 mm，E = 200 GPa）与一段铝（直径 60 mm，长 400 mm，E = 70 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 40 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。
第 1 段: 钢, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铝, Ø60 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 40 kN
σ2 = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 25 × 80 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝实心圆柱，两端固定。它需承受 60 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。
P = 60 kNn = 2L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)
d = mm
11.机械振动中等
一个 12 kg 的质量块由刚度为 5 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 20 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。
m = 12 kgk = 5 kN/mc = 20 N·s/m
ζ =
12.机械振动困难
一个 20 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 30 kN/m 和 k₂ = 15 kN/m。质量块保持水平。 求弹簧系统的等效刚度 keq，以 kN/m 计。
m = 20 kgk1 = 30 kN/mk2 = 15 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: T2 = 20.16 N·m
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
电动机扭矩
ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 3000/157.1 = 19.1 N·m
输出扭矩
T2 = 19.1·20/18·0.95 = 20.16 N·m
答案
T2 = 20.16 N·m
2.齿轮与齿轮系
答案: Tout = 73.37 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
输出转速
nout = 960·(30/48)·(15/24) = 375 rpm
ωout = 2π·375/60 = 39.27 rad/s
输出功率和转矩
Pout = 3000·0.98² = 2881 W
Tout = Pout/ωout = 2881/39.27 = 73.37 N·m
答案
Tout = 73.37 N·m
3.轴的扭转
答案: φ = 0.5986 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 100·1000·2500/(39000·613592) = 0.01045 rad
φ = 0.01045·180/π = 0.5986°
答案
φ = 0.5986°
4.轴的扭转
答案: d = 54.11 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 30000/104.7 = 286.5 N·m
按强度求直径
T = 286.5 N·m = 286479 N·mm
dτ = ∛(16·286479/(π·75)) = 26.89 mm
按刚度求直径
θ = 0.75·π/180/1000 = 1.309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·286479/(π·26000·1.309 × 10⁻⁵))1/4 = 54.11 mm
控制直径
两个限值都必须满足，所以较大的直径起控制作用。
d = max(26.89, 54.11) = 54.11 mm
答案
d = 54.11 mm
这里由刚度控制。
5.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 55.9 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
莫尔圆半径
τmax = R = √(((80 − 30)/2)² + −50²) = 55.9 MPa
答案
τmax = 55.9 MPa
6.莫尔圆与应力变换
答案: τθ = −29.92 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
τθ = −10·0.9397 + −60·0.342 = −29.92 MPa
答案
τθ = −29.92 MPa
7.轴向应力与应变
答案: δ = 4.138 mm
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 65·1000/78.54 = 827.6 MPa
应变（胡克定律）
E for 钢 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 827.6/200000 = 0.004138 = 4138 µε
伸长量
δ = ε·L = 0.004138·1000 mm = 4.138 mm
答案
δ = 4.138 mm
8.轴向应力与应变
答案: σ2 = 9.584 MPa
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
刚度
k₁ = 200000·706.9/600 = 235619 N/mm
k₂ = 70000·2827/400 = 494801 N/mm
第 2 段的份额
F2 = 40000·494801/730420 = 27097 N
应力
σ2 = 27097/2827 = 9.584 MPa （压缩）
答案
σ2 = 9.584 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 131.6 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/1250² = 131595 N = 131.6 kN
答案
Pcr = 131.6 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 48.49 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2·60000 = 120000 N
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·1250²/(π³·70000))^(1/4) = 48.49 mm
答案
d = 48.49 mm
校核：长细比 KL/r 为 103.1，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: ζ = 0.04082
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
临界阻尼
cc = 2·√(k·m) = 2·√(5000·12) = 489.9 N·s/m
阻尼比
ζ = c/cc = 20/489.9 = 0.04082
答案
ζ = 0.04082
ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。
12.机械振动
答案: keq = 45 kN/m
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k1 + k2。
keq = 30 + 15 = 45 kN/m
答案
keq = 45 kN/m
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