齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 5.5 kW 的电动机以 1500 rpm 运转，驱动一个齿数为 18 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 60 的大齿轮啮合。 该齿轮副的效率为 95%。 求齿轮轴上的输出扭矩 T2。
P = 5.5 kWn1 = 1500 rpmN1 = 18N2 = 60η = 95%
T2 = N·m
2.齿轮与齿轮系困难
在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（36 齿）以 1440 rpm 转动，驱动齿轮 B（50 齿）。齿轮 C（15 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（24 齿）。求输出转速 nout。
nin = 1440 rpmA = 36B = 50C = 15D = 24
nout = rpm
3.轴的扭转中等
一根空心轴须承受 2000 N·m 的扭矩。 其内径为外径的 0.6 倍，切应力不得超过 40 MPa。求最小外径 do。
T = 2000 N·mdi/do = 0.6τallow = 40 MPa
do = mm
4.轴的扭转困难
一根直径 60 mm 的实心黄铜轴在 A 端固定。距 A 0.8 m 的 B 处作用 500 N·m 的扭矩，再往前 1 m 的自由端 C 处作用一个反向的 2000 N·m 扭矩。 求端部 C 扭转角 φC 的大小，以度表示。
d = 60 mmTB = 500 N·mTC = 2000 N·mAB = 0.8 mBC = 1 mG = 39 GPa
φC = °
5.莫尔圆与应力变换中等
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = −70 MPa，σᵧ = 100 MPa，τₓᵧ = 10 MPa，σz = 0。求该点的绝对最大切应力 τabs（考虑三维中所有平面）。
σx = −70 MPaσy = 100 MPaτxy = 10 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 100 MPa，σᵧ = 40 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴顺时针转过 45° 的截面上的正应力 σθ。
σx = 100 MPaσy = 40 MPaτxy = 30 MPaθ = -45°
σθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
求铜杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 105 kNd = 30 mmL = 0.5 mE = 117 GPa
ε = µε
8.轴向应力与应变困难
一根钢杆（直径 20 mm，E = 200 GPa，许用应力 160 MPa）放在一根铝管（外径 80 mm，内径 50 mm，E = 70 GPa，许用应力 60 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 Pmax。
杆: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 160 MPa管: Ø80/Ø50 mm, E = 70 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 3 mE = 200 GPa (钢)b × h = 40 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端固定。它需承受 75 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。
P = 75 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.机械振动中等
在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 15 mm 之后 5 个周期出现峰值 4.3 mm。 求阻尼比 ζ。
x0 = 15 mmx5 = 4.3 mmn = 5
ζ =
12.机械振动困难
一个 25 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 12 kN/m，下弹簧 k₂ = 10 kN/m。 忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 25 kgk1 = 12 kN/mk2 = 10 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: T2 = 110.9 N·m
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
电动机扭矩
ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 5500/157.1 = 35.01 N·m
输出扭矩
T2 = 35.01·60/18·0.95 = 110.9 N·m
答案
T2 = 110.9 N·m
2.齿轮与齿轮系
答案: nout = 648 rpm
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
第一级
nB = 1440·36/50 = 1037 rpm = nC
第二级
nout = 1037·15/24 = 648 rpm
答案
nout = 648 rpm
总传动比 = 2.222 : 1
3.轴的扭转
答案: do = 66.39 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
由容许应力求外径
T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.6⁴ = 0.8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2 × 10⁶/(π·40·0.8704)) = 66.39 mm
di = 0.6·66.39 = 39.83 mm
答案
do = 66.39 mm
实心轴需要 d = 63.38 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。
4.轴的扭转
答案: φC = 3.695 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
内扭矩
取 TC 的转向为正。
TBC = TC = 2000 N·m
TAB = TC − TB = 2000 − 500 = 1500 N·m
各段的扭转角
J = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = 1.5 × 10⁶·800/(39000·1.272 × 10⁶) = 0.02418 rad
φBC = 2 × 10⁶·1000/(39000·1.272 × 10⁶) = 0.04031 rad
端部 C 的扭转角
φC = 0.02418 + 0.04031 = 0.06449 rad → |φC| = 3.695°
答案
φC = 3.695°
5.莫尔圆与应力变换
答案: τabs = 85.59 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 在三维中，绝对最大切应力为三个主应力中 (σmax − σmin)/2；平面应力状态下第三个主应力为零。
面内主应力
C = 15 MPa, R = √((−85)² + 10²) = 85.59 MPa
σ1 = 100.6 MPa, σ2 = −70.59 MPa, σz = 0
三个圆中最大的
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(171.2, 100.6, 70.59)/2 = 85.59 MPa
答案
τabs = 85.59 MPa
这里 σ₁ 和 σ₂ 异号，所以面内最大值 R 也就是绝对最大值。
6.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = 40 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = 70 + 30·0 + 30·−1 = 40 MPa
答案
σθ = 40 MPa
7.轴向应力与应变
答案: ε = 1270 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 105·1000/706.9 = 148.5 MPa
应变（胡克定律）
E for 铜 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 148.5/117000 = 0.00127 = 1270 µε
答案
ε = 1270 µε
8.轴向应力与应变
答案: Pmax = 221.8 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·314.2 + 70·10³·3063 = 2.772 × 10⁸ N
控制应变
ε = min(0.0008, 0.0008571) = 0.0008 (钢)
最大载荷
Pmax = 0.0008·2.772 × 10⁸ = 221796 N = 221.8 kN
答案
Pmax = 221.8 kN
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 29.24 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴
计算长度
KL = 2·3000 = 6000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/6000² = 29243 N = 29.24 kN
答案
Pcr = 29.24 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 55.21 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 3·75000 = 225000 N
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·225000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 55.21 mm
答案
d = 55.21 mm
校核：长细比 KL/r 为 144.9，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: ζ = 0.03974
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
对数衰减率
δ = (1/5)·ln(15/4.3) = 0.2499
阻尼比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.2499/√(39.48 + 0.06244) = 0.03974
答案
ζ = 0.03974
12.机械振动
答案: fn = 2.351 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/12 + 1/10 → keq = 12·10/(12 + 10) = 5.455 kN/m
固有频率
ωn = √(5455/25) = 14.77 rad/s
fn = 14.77/(2π) = 2.351 Hz
答案
fn = 2.351 Hz
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