齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 0.37 kW、1450 rpm 的电动机驱动一个 2 头的蜗杆。蜗轮有 45 个齿，传动效率为 80%。求蜗轮轴上的输出转矩 Tw。
z = 2Nw = 45n = 1450 rpmP = 0.37 kWη = 80%
Tw = N·m
2.齿轮与齿轮系困难
一台 7.5 kW、2900 rpm 的电动机驱动齿轮 A（16 齿），A 与齿轮 B（36 齿）啮合。与 B 同轴的齿轮 C（18 齿）驱动输出轴上的齿轮 D（32 齿）。每对齿轮啮合的效率为 97%。求输出转矩 Tout。
P = 7.5 kWnin = 2900 rpmA = 16B = 36C = 18D = 32ηmesh = 97%
Tout = N·m
3.轴的扭转中等
一根铝实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 100 N·md = 30 mmL = 2.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根直径 50 mm 的实心黄铜轴两端 A 和 B 都固定在刚性墙上。在距 A 1.5 m、距 B 2 m 的 C 处施加 1000 N·m 的扭矩。 求轴中的最大切应力 τmax。
d = 50 mmT0 = 1000 N·ma = 1.5 mb = 2 m
τmax = MPa
5.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 110 MPa，σᵧ = −60 MPa，τₓᵧ = −60 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = 110 MPaσy = −60 MPaτxy = −60 MPa
θp = °
6.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 70 MPa，σᵧ = 10 MPa，τₓᵧ = −60 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴顺时针转过 45° 的截面上的切应力 τθ（正方向与 τₓᵧ 相同）。
σx = 70 MPaσy = 10 MPaτxy = −60 MPaθ = -45°
τθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
求钢杆在轴向荷载下的伸长量 δ。
P = 65 kNd = 16 mmL = 1.5 mE = 200 GPa
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
一段钢（直径 30 mm，长 600 mm，E = 200 GPa）与一段黄铜（直径 60 mm，长 300 mm，E = 100 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 20 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。
第 1 段: 钢, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPa第 2 段: 黄铜, Ø60 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 20 kN
σ2 = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 3 mE = 200 GPa (钢)b × h = 25 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝实心圆柱，两端固定。它需承受 85 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。
P = 85 kNn = 2L = 6 mE = 70 GPa (铝)
d = mm
11.机械振动中等
在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 40 mm 之后 4 个周期出现峰值 0.9 mm。 求阻尼比 ζ。
x0 = 40 mmx4 = 0.9 mmn = 4
ζ =
12.机械振动困难
一个 40 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 100 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 10 kN/m 和 k₂ = 15 kN/m 悬挂；杆保持水平。 忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 40 kgk1 = 10 kN/mk2 = 15 kN/mk3 = 100 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: Tw = 43.86 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
蜗轮转速
nw = n·z/Nw = 1450·2/45 = 64.44 rpm
输出扭矩
ωw = 2π·64.44/60 = 6.749 rad/s
Tw = η·P/ωw = 0.8·370/6.749 = 43.86 N·m
答案
Tw = 43.86 N·m
2.齿轮与齿轮系
答案: Tout = 92.95 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
输出转速
nout = 2900·(16/36)·(18/32) = 725 rpm
ωout = 2π·725/60 = 75.92 rad/s
输出功率和转矩
Pout = 7500·0.97² = 7057 W
Tout = Pout/ωout = 7057/75.92 = 92.95 N·m
答案
Tout = 92.95 N·m
3.轴的扭转
答案: φ = 6.928 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 100·1000·2500/(26000·79522) = 0.1209 rad
φ = 0.1209·180/π = 6.928°
答案
φ = 6.928°
4.轴的扭转
答案: τmax = 23.28 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。 两端都固定时，仅靠静力学只能得到 TA + TB = T₀；第二个方程是变形协调条件（两部分在受荷截面处的扭转角相等）。
平衡和变形协调
TA + TB = 1000
TA·a = TB·b
TA = 1000·2/3.5 = 571.4 N·m
TB = 1000·1.5/3.5 = 428.6 N·m
最大切应力
两个扭矩中较大者起控制作用（直径相同）。
τmax = 16·571429/(π·50³) = 23.28 MPa
答案
τmax = 23.28 MPa
5.莫尔圆与应力变换
答案: θp = −17.61 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·−60, 110 − −60) = −35.22°
单元体上的角度
θp = −17.61°
答案
θp = −17.61°
逆时针方向的角度为正。
6.莫尔圆与应力变换
答案: τθ = 30 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
τθ = −30·−1 + −60·0 = 30 MPa
答案
τθ = 30 MPa
7.轴向应力与应变
答案: δ = 2.425 mm
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 65·1000/201.1 = 323.3 MPa
应变（胡克定律）
E for 钢 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 323.3/200000 = 0.001616 = 1616 µε
伸长量
δ = ε·L = 0.001616·1500 mm = 2.425 mm
答案
δ = 2.425 mm
8.轴向应力与应变
答案: σ2 = 5.659 MPa
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
刚度
k₁ = 200000·706.9/600 = 235619 N/mm
k₂ = 100000·2827/300 = 942478 N/mm
第 2 段的份额
F2 = 20000·942478/1.178 × 10⁶ = 16000 N
应力
σ2 = 16000/2827 = 5.659 MPa （压缩）
答案
σ2 = 5.659 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 4.284 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴
计算长度
KL = 2·3000 = 6000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/6000² = 4284 N = 4.284 kN
答案
Pcr = 4.284 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 81.96 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2·85000 = 170000 N
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·170000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 81.96 mm
答案
d = 81.96 mm
校核：长细比 KL/r 为 146.4，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: ζ = 0.1493
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
对数衰减率
δ = (1/4)·ln(40/0.9) = 0.9486
阻尼比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.9486/√(39.48 + 0.8998) = 0.1493
答案
ζ = 0.1493
12.机械振动
答案: fn = 3.559 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
只有 k1 和 k2 是并联的。这一对与 k3 串联，所以要按倒数组合。
k12 = 10 + 15 = 25 kN/m
keq = 25·100/(25 + 100) = 20 kN/m
固有频率
ωn = √(20000/40) = 22.36 rad/s
fn = 22.36/(2π) = 3.559 Hz
答案
fn = 3.559 Hz
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