齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
两根平行轴相距 288 mm。须用一对模数为 4 mm、减速比为 5 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。 大齿轮须有多少个齿 N2？
a = 288 mmm = 4 mmi = 5
N2 =
2.齿轮与齿轮系困难
一条开口皮带连接一个 120 mm 的带轮和一个 315 mm 的带轮，二者中心相距 1000 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。
d1 = 120 mmd2 = 315 mmC = 1000 mm
θ = °
3.轴的扭转中等
一根空心轴须承受 1000 N·m 的扭矩。 其内径为外径的 0.75 倍，切应力不得超过 60 MPa。求最小外径 do。
T = 1000 N·mdi/do = 0.75τallow = 60 MPa
do = mm
4.轴的扭转困难
一根空心轴须在 1000 rpm 下传递 20 kW。 其内径为外径的 0.75 倍，切应力不得超过 50 MPa。求最小外径 do。
P = 20 kWN = 1000 rpmdi/do = 0.75τallow = 50 MPa
do = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = 40 MPa、σᵧ = −80 MPa、τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。求从 x 轴到某平面法线的角度 θs（在 −90° 到 90° 之间），该平面上的切应力达到最大正值 +R（切应力与 τₓᵧ 同向为正）。
σx = 40 MPaσy = −80 MPaτxy = 30 MPa
θs = °
6.莫尔圆与应力变换困难
一根直径 60 mm 的实心轴承受90 kN 的轴向拉力，同时承受 1000 N·m 的扭矩。 在轴的表面处， 求最大主应力 σ1。
d = 60 mmF = 90 kNT = 1000 N·m
σ1 = MPa
7.轴向应力与应变中等
求钢杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 75 kNd = 12 mmL = 3 mE = 200 GPa
ε = µε
8.轴向应力与应变困难
一段钢（直径 20 mm，长 300 mm，E = 200 GPa）与一段黄铜（直径 50 mm，长 200 mm，E = 100 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 30 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。
第 1 段: 钢, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPa第 2 段: 黄铜, Ø50 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 5 mE = 70 GPa (铝)d = 80 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，两端固定。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 5 mE = 200 GPa (钢)d = 30 mm
σcr = MPa
11.机械振动中等
一个 20 kg 的质量块由刚度为 10 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 540 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。
m = 20 kgk = 10 kN/mc = 540 N·s/m
ζ =
12.机械振动困难
一个 25 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 50 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 60 kN/m 和 k₂ = 10 kN/m 悬挂；杆保持水平。 忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 25 kgk1 = 60 kN/mk2 = 10 kN/mk3 = 50 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: N2 = 120
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
总齿数
N1 + N2 = 2a/m = 2·288/4 = 144
按传动比分配
N1 = 144/(1 + 5) = 24
N2 = 5·24 = 120
答案
N2 = 120
2.齿轮与齿轮系
答案: θ = 168.8 °
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
皮带角
asin(0.0975) = 5.595°
包角
θ = 180 − 2·5.595 = 168.8°
答案
θ = 168.8°
3.轴的扭转
答案: do = 49.89 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
由容许应力求外径
T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1 × 10⁶/(π·60·0.6836)) = 49.89 mm
di = 0.75·49.89 = 37.42 mm
答案
do = 49.89 mm
实心轴需要 d = 43.95 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。
4.轴的扭转
答案: do = 30.53 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 20000/104.7 = 191 N·m
由容许应力求外径
T = 191 N·m = 190986 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·190986/(π·50·0.6836)) = 30.53 mm
di = 0.75·30.53 = 22.9 mm
答案
do = 30.53 mm
实心轴需要 d = 26.89 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。
5.莫尔圆与应力变换
答案: θs = −31.72 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，最高点 (+R) 与主应力点 σ₁ 相差 90°；在单元体上为 45°。
cos 2θs = 30/67.08 = 0.4472, sin 2θs = −60/67.08 = −0.8944
2θs = atan2(−60, 30) = −63.43°
单元体上的角度
θs = −31.72°
校核: θs − θp = −31.72 − 13.28 = −45°
答案
θs = −31.72°
逆时针方向的角度为正。
6.莫尔圆与应力变换
答案: σ1 = 44.36 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
表面处的应力
σ = F/A = 90000/(π·60²/4) = 90000/2827 = 31.83 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·60³) = 23.58 MPa
莫尔圆
C = σ/2 = 15.92 MPa
R = √(15.92² + 23.58²) = 28.45 MPa
σ1 = C + R = 44.36 MPa
σ2 = C − R = −12.53 MPa
答案
σ1 = 44.36 MPa
7.轴向应力与应变
答案: ε = 3316 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 75·1000/113.1 = 663.1 MPa
应变（胡克定律）
E for 钢 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 663.1/200000 = 0.003316 = 3316 µε
答案
ε = 3316 µε
8.轴向应力与应变
答案: σ2 = 12.59 MPa
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
刚度
k₁ = 200000·314.2/300 = 209440 N/mm
k₂ = 100000·1963/200 = 981748 N/mm
第 2 段的份额
F2 = 30000·981748/1.191 × 10⁶ = 24725 N
应力
σ2 = 24725/1963 = 12.59 MPa （压缩）
答案
σ2 = 12.59 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 113.4 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
计算长度
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/3500² = 113394 N = 113.4 kN
答案
Pcr = 113.4 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 17.77 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
回转半径和长细比
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
KL/r = 2500/7.5 = 333.3
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/333.3² = 17.77 MPa
答案
σcr = 17.77 MPa
11.机械振动
答案: ζ = 0.6037
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
临界阻尼
cc = 2·√(k·m) = 2·√(10000·20) = 894.4 N·s/m
阻尼比
ζ = c/cc = 540/894.4 = 0.6037
答案
ζ = 0.6037
ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。
12.机械振动
答案: fn = 5.436 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
只有 k1 和 k2 是并联的。这一对与 k3 串联，所以要按倒数组合。
k12 = 60 + 10 = 70 kN/m
keq = 70·50/(70 + 50) = 29.17 kN/m
固有频率
ωn = √(29167/25) = 34.16 rad/s
fn = 34.16/(2π) = 5.436 Hz
答案
fn = 5.436 Hz
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