齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 0.75 kW 的电动机以 1500 rpm 运转，驱动一个齿数为 16 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 45 的大齿轮啮合。 忽略损失。 求电动机轴上的扭矩 T1。
P = 0.75 kWn1 = 1500 rpmN1 = 16N2 = 45η = 100%
T1 = N·m
2.齿轮与齿轮系困难
在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（36 齿）以 1450 rpm 转动，驱动齿轮 B（48 齿）。齿轮 C（12 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（48 齿）。求输出转速 nout。
nin = 1450 rpmA = 36B = 48C = 12D = 48
nout = rpm
3.轴的扭转中等
一根钢实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 750 N·md = 50 mmL = 1.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根实心轴需在 3000 rpm 下传递 20 kW，且切应力不超过 50 MPa。求满足要求的最小直径 d。
P = 20 kWN = 3000 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = −30 MPa、σᵧ = 80 MPa、τₓᵧ = −40 MPa（拉为正）。求从 x 轴到某平面法线的角度 θs（在 −90° 到 90° 之间），该平面上的切应力达到最大正值 +R（切应力与 τₓᵧ 同向为正）。
σx = −30 MPaσy = 80 MPaτxy = −40 MPa
θs = °
6.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 0 MPa，σᵧ = 40 MPa，τₓᵧ = −40 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 40° 的截面上的正应力 σθ。
σx = 0 MPaσy = 40 MPaτxy = −40 MPaθ = 40°
σθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
求铜杆在轴向荷载下的伸长量 δ。
P = 110 kNd = 10 mmL = 1 mE = 117 GPa
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
一段钢（直径 40 mm，长 500 mm，E = 200 GPa）与一段黄铜（直径 60 mm，长 200 mm，E = 100 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 40 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。
第 1 段: 钢, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPa第 2 段: 黄铜, Ø60 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 40 kN
σ2 = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1 mE = 200 GPa (钢)d = 30 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 105 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。
P = 105 kNn = 2.5L = 6 mE = 70 GPa (铝)
d = mm
11.机械振动中等
在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 50 mm 之后 3 个周期出现峰值 7.5 mm。 求阻尼比 ζ。
x0 = 50 mmx3 = 7.5 mmn = 3
ζ =
12.机械振动困难
一个 40 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 40 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 12 kN/m 和 k₂ = 30 kN/m 悬挂；杆保持水平。 忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 40 kgk1 = 12 kN/mk2 = 30 kN/mk3 = 40 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: T1 = 4.775 N·m
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
电动机扭矩
ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 750/157.1 = 4.775 N·m
答案
T1 = 4.775 N·m
2.齿轮与齿轮系
答案: nout = 271.9 rpm
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
第一级
nB = 1450·36/48 = 1088 rpm = nC
第二级
nout = 1088·12/48 = 271.9 rpm
答案
nout = 271.9 rpm
总传动比 = 5.333 : 1
3.轴的扭转
答案: φ = 1.313 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(80000·613592) = 0.02292 rad
φ = 0.02292·180/π = 1.313°
答案
φ = 1.313°
4.轴的扭转
答案: d = 18.65 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 20000/314.2 = 63.66 N·m
由许用应力求直径
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·63662/(π·50)) = 18.65 mm
答案
d = 18.65 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
5.莫尔圆与应力变换
答案: θs = 63.01 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，最高点 (+R) 与主应力点 σ₁ 相差 90°；在单元体上为 45°。
cos 2θs = −40/68.01 = −0.5882, sin 2θs = −(−55)/68.01 = 0.8087
2θs = atan2(55, −40) = 126°
单元体上的角度
θs = 63.01°
校核: θs − θp = 63.01 − (−71.99) = 135°
答案
θs = 63.01°
逆时针方向的角度为正。
6.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = −22.87 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = 20 + −20·0.1736 + −40·0.9848 = −22.87 MPa
答案
σθ = −22.87 MPa
7.轴向应力与应变
答案: δ = 11.97 mm
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 110·1000/78.54 = 1401 MPa
应变（胡克定律）
E for 铜 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 1401/117000 = 0.01197 = 11971 µε
伸长量
δ = ε·L = 0.01197·1000 mm = 11.97 mm
答案
δ = 11.97 mm
8.轴向应力与应变
答案: σ2 = 10.44 MPa
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
刚度
k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm
k₂ = 100000·2827/200 = 1.414 × 10⁶ N/mm
第 2 段的份额
F2 = 40000·1.414 × 10⁶/1.916 × 10⁶ = 29508 N
应力
σ2 = 29508/2827 = 10.44 MPa （压缩）
答案
σ2 = 10.44 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 78.48 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
计算长度
KL = 1·1000 = 1000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1000² = 78485 N = 78.48 kN
答案
Pcr = 78.48 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 108.1 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2.5·105000 = 262500 N
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·262500·4200²/(π³·70000))^(1/4) = 108.1 mm
答案
d = 108.1 mm
校核：长细比 KL/r 为 155.4，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: ζ = 0.1001
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
对数衰减率
δ = (1/3)·ln(50/7.5) = 0.6324
阻尼比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.6324/√(39.48 + 0.3999) = 0.1001
答案
ζ = 0.1001
12.机械振动
答案: fn = 3.602 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
只有 k1 和 k2 是并联的。这一对与 k3 串联，所以要按倒数组合。
k12 = 12 + 30 = 42 kN/m
keq = 42·40/(42 + 40) = 20.49 kN/m
固有频率
ωn = √(20488/40) = 22.63 rad/s
fn = 22.63/(2π) = 3.602 Hz
答案
fn = 3.602 Hz
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