齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 1.5 kW、转速 1450 rpm 的电动机驱动一个齿数为 30、模数为 2 mm 的小齿轮。求小齿轮齿上的切向力 Ft。
P = 1.5 kWn = 1450 rpmN1 = 30m = 2 mm
Ft = N
2.齿轮与齿轮系困难
一条开口皮带连接一个 160 mm 的带轮和一个 200 mm 的带轮，二者中心相距 1200 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。
d1 = 160 mmd2 = 200 mmC = 1200 mm
θ = °
3.轴的扭转中等
一根铝实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 500 N·md = 40 mmL = 0.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根空心轴在 1000 rpm 下传递 100 kW。求轴中的最大切应力 τmax。
P = 100 kWN = 1000 rpmdo = 50 mmdi = 40 mm
τmax = MPa
5.莫尔圆与应力变换中等
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = −20 MPa，σᵧ = 20 MPa，τₓᵧ = 30 MPa，σz = 0。求该点的绝对最大切应力 τabs（考虑三维中所有平面）。
σx = −20 MPaσy = 20 MPaτxy = 30 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 20 MPa，σᵧ = −40 MPa，τₓᵧ = 60 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 40° 的截面上的正应力 σθ。
σx = 20 MPaσy = −40 MPaτxy = 60 MPaθ = 40°
σθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
一根钢杆（直径 40 mm，E = 200 GPa）放在一根铝管（外径 120 mm，内径 70 mm，E = 70 GPa）内。二者长度均为 800 mm，在刚性板之间被 300 kN 的力一起压缩。 求缩短量 δ。
P = 300 kN杆: Ø40 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPaL = 800 mm
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 55 kN第 1 段：Ø30 mm，0.5 m，铜（E = 117 GPa）第 2 段：Ø12 mm，1.5 m，铜（E = 117 GPa）
σmax = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 3 mE = 200 GPa (钢)d = 50 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 125 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。
P = 125 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)
d = mm
11.机械振动中等
一个 15 kg 的质量块由刚度为 50 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 350 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。
m = 15 kgk = 50 kN/mc = 350 N·s/m
ζ =
12.机械振动困难
一个 100 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 15 kN/m 和 k₂ = 80 kN/m。质量块保持水平。 求弹簧系统的等效刚度 keq，以 kN/m 计。
m = 100 kgk1 = 15 kN/mk2 = 80 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: Ft = 329.3 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
小齿轮上的转矩
ω = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 1500/151.8 = 9.879 N·m
分度圆直径
d = m·N = 2·30 = 60 mm
切向力
Ft = 2T/d = 2·9.879/0.06 = 329.3 N
答案
Ft = 329.3 N
2.齿轮与齿轮系
答案: θ = 178.1 °
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
皮带角
asin(0.01667) = 0.955°
包角
θ = 180 − 2·0.955 = 178.1°
答案
θ = 178.1°
3.轴的扭转
答案: φ = 2.192 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 500·1000·500/(26000·251327) = 0.03826 rad
φ = 0.03826·180/π = 2.192°
答案
φ = 2.192°
4.轴的扭转
答案: τmax = 65.9 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 100000/104.7 = 954.9 N·m
极惯性矩
J = π(50⁴ − 40⁴)/32 = 362265 mm⁴
最大切应力
τmax = T·(do/2)/J = 954930·25/362265 = 65.9 MPa
答案
τmax = 65.9 MPa
5.莫尔圆与应力变换
答案: τabs = 36.06 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 在三维中，绝对最大切应力为三个主应力中 (σmax − σmin)/2；平面应力状态下第三个主应力为零。
面内主应力
C = 0 MPa, R = √((−20)² + 30²) = 36.06 MPa
σ1 = 36.06 MPa, σ2 = −36.06 MPa, σz = 0
三个圆中最大的
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(72.11, 36.06, 36.06)/2 = 36.06 MPa
答案
τabs = 36.06 MPa
这里 σ₁ 和 σ₂ 异号，所以面内最大值 R 也就是绝对最大值。
6.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = 54.3 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = −10 + 30·0.1736 + 60·0.9848 = 54.3 MPa
答案
σθ = 54.3 MPa
7.轴向应力与应变
答案: δ = 0.3102 mm
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·7461 = 7.736 × 10⁸ N
缩短量
δ = 300000·800/7.736 × 10⁸ = 0.3102 mm
答案
δ = 0.3102 mm
8.轴向应力与应变
答案: σmax = 486.3 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 77.81 MPa
σ2 = 486.3 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 486.3 MPa
答案
σmax = 486.3 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 16.82 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
计算长度
KL = 2·3000 = 6000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/6000² = 16822 N = 16.82 kN
答案
Pcr = 16.82 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 72.89 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2.5·125000 = 312500 N
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·312500·1750²/(π³·70000))^(1/4) = 72.89 mm
答案
d = 72.89 mm
校核：长细比 KL/r 为 96.04，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: ζ = 0.2021
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
临界阻尼
cc = 2·√(k·m) = 2·√(50000·15) = 1732 N·s/m
阻尼比
ζ = c/cc = 350/1732 = 0.2021
答案
ζ = 0.2021
ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。
12.机械振动
答案: keq = 95 kN/m
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k1 + k2。
keq = 15 + 80 = 95 kN/m
答案
keq = 95 kN/m
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