齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 15 kW 的电动机以 960 rpm 运转，驱动一个齿数为 15 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 25 的大齿轮啮合。 忽略损失。 求齿轮轴上的输出扭矩 T2。
P = 15 kWn1 = 960 rpmN1 = 15N2 = 25η = 100%
T2 = N·m
2.齿轮与齿轮系困难
一条开口皮带连接一个 100 mm 的带轮和一个 450 mm 的带轮，二者中心相距 500 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。
d1 = 100 mmd2 = 450 mmC = 500 mm
θ = °
3.轴的扭转中等
一根阶梯形实心黄铜轴在 A 端固定。AB 段直径 25 mm，长 2.5 m；BC 段直径 20 mm，长 2.5 m。自由端 C 作用 250 N·m 的扭矩。 求轴中的最大切应力 τmax。
T = 250 N·md1 = 25 mm, L1 = 2.5 md2 = 20 mm, L2 = 2.5 m
τmax = MPa
4.轴的扭转困难
一根实心轴需在 1800 rpm 下传递 20 kW，且切应力不超过 75 MPa。求满足要求的最小直径 d。
P = 20 kWN = 1800 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = −80 MPa、σᵧ = 0 MPa、τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。求从 x 轴到某平面法线的角度 θs（在 −90° 到 90° 之间），该平面上的切应力达到最大正值 +R（切应力与 τₓᵧ 同向为正）。
σx = −80 MPaσy = 0 MPaτxy = 30 MPa
θs = °
6.莫尔圆与应力变换困难
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = −40 MPa，σᵧ = 110 MPa，τₓᵧ = −20 MPa（σz = 0）。 材料的屈服强度为 355 MPa。按冯·米塞斯（畸变能）准则求防止屈服的安全系数 n。
σx = −40 MPaσy = 110 MPaτxy = −20 MPaσY = 355 MPa
n =
7.轴向应力与应变中等
求黄铜杆在轴向荷载下的伸长量 δ。
P = 70 kNd = 10 mmL = 2.5 mE = 100 GPa
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
一根钢杆（直径 40 mm，E = 200 GPa，许用应力 200 MPa）放在一根铜管（外径 80 mm，内径 50 mm，E = 120 GPa，许用应力 70 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 Pmax。
杆: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPa管: Ø80/Ø50 mm, E = 120 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 6 mE = 200 GPa (钢)b × h = 40 × 80 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)d = 80 mm
σcr = MPa
11.机械振动中等
一个 80 kg 的质量块由刚度为 8 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 400 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。
m = 80 kgk = 8 kN/mc = 400 N·s/m
ζ =
12.机械振动困难
一个 40 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 30 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 12 kN/m 和 k₂ = 10 kN/m 悬挂；杆保持水平。 忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 40 kgk1 = 12 kN/mk2 = 10 kN/mk3 = 30 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: T2 = 248.7 N·m
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
电动机扭矩
ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 15000/100.5 = 149.2 N·m
输出扭矩
T2 = 149.2·25/15·1 = 248.7 N·m
答案
T2 = 248.7 N·m
2.齿轮与齿轮系
答案: θ = 139 °
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
皮带角
asin(0.35) = 20.49°
包角
θ = 180 − 2·20.49 = 139°
答案
θ = 139°
3.轴的扭转
答案: τmax = 159.2 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
各段的应力
T = 250 N·m = 250000 N·mm
τAB = 16·250000/(π·25³) = 81.49 MPa
τBC = 16·250000/(π·20³) = 159.2 MPa
答案
τmax = 159.2 MPa
4.轴的扭转
答案: d = 19.31 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 20000/188.5 = 106.1 N·m
由许用应力求直径
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·106103/(π·75)) = 19.31 mm
答案
d = 19.31 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
5.莫尔圆与应力变换
答案: θs = 26.57 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，最高点 (+R) 与主应力点 σ₁ 相差 90°；在单元体上为 45°。
cos 2θs = 30/50 = 0.6, sin 2θs = −(−40)/50 = 0.8
2θs = atan2(40, 30) = 53.13°
单元体上的角度
θs = 26.57°
校核: θs − θp = 26.57 − 71.57 = −45°
答案
θs = 26.57°
逆时针方向的角度为正。
6.莫尔圆与应力变换
答案: n = 2.555
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。
主应力
C = 35 MPa, R = 77.62 MPa
σ1 = 112.6 MPa, σ2 = −42.62 MPa, σ3 = 0
冯·米塞斯
σvM = √(112.6² − 112.6·(−42.62) + (−42.62)²) = 138.9 MPa
n = 355/138.9 = 2.555
答案
n = 2.555
n > 1 表示该点不屈服；特雷斯卡准则比冯·米塞斯准则稍保守。
7.轴向应力与应变
答案: δ = 22.28 mm
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 70·1000/78.54 = 891.3 MPa
应变（胡克定律）
E for 黄铜 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 891.3/100000 = 0.008913 = 8913 µε
伸长量
δ = ε·L = 0.008913·2500 mm = 22.28 mm
答案
δ = 22.28 mm
8.轴向应力与应变
答案: Pmax = 361 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·3063 = 6.189 × 10⁸ N
控制应变
ε = min(0.001, 0.0005833) = 0.0005833 (铜)
最大载荷
Pmax = 0.0005833·6.189 × 10⁸ = 361021 N = 361 kN
答案
Pmax = 361 kN
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 47.74 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·426667/4200² = 47744 N = 47.74 kN
答案
Pcr = 47.74 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 31.58 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
回转半径和长细比
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 2·2500 = 5000 mm
KL/r = 5000/20 = 250
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/250² = 31.58 MPa
答案
σcr = 31.58 MPa
11.机械振动
答案: ζ = 0.25
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
临界阻尼
cc = 2·√(k·m) = 2·√(8000·80) = 1600 N·s/m
阻尼比
ζ = c/cc = 400/1600 = 0.25
答案
ζ = 0.25
ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。
12.机械振动
答案: fn = 2.835 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
只有 k1 和 k2 是并联的。这一对与 k3 串联，所以要按倒数组合。
k12 = 12 + 10 = 22 kN/m
keq = 22·30/(22 + 30) = 12.69 kN/m
固有频率
ωn = √(12692/40) = 17.81 rad/s
fn = 17.81/(2π) = 2.835 Hz
答案
fn = 2.835 Hz
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