齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一条皮带绕在一个以 1440 rpm 转动、直径 100 mm 的主动轮上。紧边张力为 600 N，松边张力为 150 N。求传递的功率 P，单位 kW。
d1 = 100 mmn1 = 1440 rpmT1 = 600 NT2 = 150 N
P = kW
2.齿轮与齿轮系困难
在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（45 齿）以 1450 rpm 转动，驱动齿轮 B（48 齿）。齿轮 C（32 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（45 齿）。求输出转速 nout。
nin = 1450 rpmA = 45B = 48C = 32D = 45
nout = rpm
3.轴的扭转中等
一根空心黄铜轴（外径 50 mm，内径 35 mm，长 0.8 m）一端固定，另一端受 200 N·m 的扭矩作用。求扭转角 φ，以度表示。
T = 200 N·mdo = 50 mmdi = 35 mmL = 0.8 mG = 39 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根实心轴需在 300 rpm 下传递 30 kW，且切应力不超过 60 MPa。求满足要求的最小直径 d。
P = 30 kWN = 300 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 110 MPa，σᵧ = 30 MPa，τₓᵧ = −10 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = 110 MPaσy = 30 MPaτxy = −10 MPa
θp = °
6.莫尔圆与应力变换困难
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = −30 MPa，σᵧ = −50 MPa，τₓᵧ = −50 MPa（σz = 0）。 求冯·米塞斯等效应力 σvM。
σx = −30 MPaσy = −50 MPaτxy = −50 MPa
σvM = MPa
7.轴向应力与应变中等
求铜杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 20 kNd = 12 mmL = 2 mE = 117 GPa
ε = µε
8.轴向应力与应变困难
一根钢杆（直径 25 mm，E = 200 GPa，许用应力 150 MPa）放在一根铜管（外径 120 mm，内径 70 mm，E = 120 GPa，许用应力 80 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 Pmax。
杆: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPa管: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1 mE = 200 GPa (钢)d = 80 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，两端固定。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 2 mE = 70 GPa (铝)d = 20 mm
σcr = MPa
11.机械振动中等
一个 150 kg 的质量块挂在刚度为 200 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.35。求其自由振动的有阻尼固有频率 fd，以 Hz 计。
m = 150 kgk = 200 kN/mζ = 0.35
fd = Hz
12.机械振动困难
一个 25 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 15 kN/m，下弹簧 k₂ = 20 kN/m。 求弹簧系统的等效刚度 keq，以 kN/m 计。
m = 25 kgk1 = 15 kN/mk2 = 20 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: P = 3.393 kW
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
皮带速度
v = 7.54 m/s
功率
P = (600 − 150)·7.54 = 3393 W = 3.393 kW
答案
P = 3.393 kW
2.齿轮与齿轮系
答案: nout = 966.7 rpm
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
第一级
nB = 1450·45/48 = 1359 rpm = nC
第二级
nout = 1359·32/45 = 966.7 rpm
答案
nout = 966.7 rpm
总传动比 = 1.5 : 1
3.轴的扭转
答案: φ = 0.5041 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴
扭转角
T = 200 N·m = 200000 N·mm
L = 0.8 m = 800 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 200000·800/(39000·466269) = 0.008799 rad
φ = 0.008799·180/π = 0.5041°
答案
φ = 0.5041°
4.轴的扭转
答案: d = 43.28 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 30000/31.42 = 954.9 N·m
由许用应力求直径
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·954930/(π·60)) = 43.28 mm
答案
d = 43.28 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
5.莫尔圆与应力变换
答案: θp = −7.018 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·−10, 110 − 30) = −14.04°
单元体上的角度
θp = −7.018°
答案
θp = −7.018°
逆时针方向的角度为正。
6.莫尔圆与应力变换
答案: σvM = 96.95 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。
主应力
C = −40 MPa, R = 50.99 MPa
σ1 = 10.99 MPa, σ2 = −90.99 MPa, σ3 = 0
冯·米塞斯
σvM = √(10.99² − 10.99·(−90.99) + (−90.99)²) = 96.95 MPa
答案
σvM = 96.95 MPa
7.轴向应力与应变
答案: ε = 1511 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 20·1000/113.1 = 176.8 MPa
应变（胡克定律）
E for 铜 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 176.8/117000 = 0.001511 = 1511 µε
答案
ε = 1511 µε
8.轴向应力与应变
答案: Pmax = 662.4 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·490.9 + 120·10³·7461 = 9.935 × 10⁸ N
控制应变
ε = min(0.00075, 0.0006667) = 0.0006667 (铜)
最大载荷
Pmax = 0.0006667·9.935 × 10⁸ = 662352 N = 662.4 kN
答案
Pmax = 662.4 kN
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 992.2 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
计算长度
KL = 2·1000 = 2000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2.011 × 10⁶/2000² = 992201 N = 992.2 kN
答案
Pcr = 992.2 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 17.27 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
回转半径和长细比
A = 314.2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm
KL = 0.5·2000 = 1000 mm
KL/r = 1000/5 = 200
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17.27 MPa
答案
σcr = 17.27 MPa
11.机械振动
答案: fd = 5.444 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
无阻尼固有频率
ωn = √(200000/150) = 36.51 rad/s
fn = 36.51/(2π) = 5.812 Hz
有阻尼固有频率
fd = fn·√(1 − ζ²) = 5.812·√(1 − 0.35²) = 5.444 Hz
答案
fd = 5.444 Hz
12.机械振动
答案: keq = 8.571 kN/m
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/15 + 1/20 → keq = 15·20/(15 + 20) = 8.571 kN/m
答案
keq = 8.571 kN/m
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