齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 7.5 kW、转速 2900 rpm 的电动机驱动一个齿数为 18、模数为 2 mm 的小齿轮。求小齿轮齿上的切向力 Ft。
P = 7.5 kWn = 2900 rpmN1 = 18m = 2 mm
Ft = N
2.齿轮与齿轮系困难
在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（36 齿）以 1450 rpm 转动，驱动齿轮 B（45 齿）。齿轮 C（36 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（60 齿）。求输出转速 nout。
nin = 1450 rpmA = 36B = 45C = 36D = 60
nout = rpm
3.轴的扭转中等
一根空心钢轴（外径 30 mm，内径 15 mm，长 1.5 m）一端固定，另一端受 200 N·m 的扭矩作用。求扭转角 φ，以度表示。
T = 200 N·mdo = 30 mmdi = 15 mmL = 1.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根空心轴在 1500 rpm 下传递 50 kW。求轴中的最大切应力 τmax。
P = 50 kWN = 1500 rpmdo = 50 mmdi = 30 mm
τmax = MPa
5.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = 120 MPa、σᵧ = −30 MPa。在最大主应力达到 140 MPa 之前，切应力 τxy（大小）最大可以是多少？
σx = 120 MPaσy = −30 MPaσ1 = 140 MPa
τxy = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = −40 MPa，σᵧ = 0 MPa，τₓᵧ = 60 MPa（σz = 0）。 求冯·米塞斯等效应力 σvM。
σx = −40 MPaσy = 0 MPaτxy = 60 MPa
σvM = MPa
7.轴向应力与应变中等
求铝杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 40 kNd = 30 mmL = 0.5 mE = 70 GPa
ε = µε
8.轴向应力与应变困难
一根钢杆（直径 30 mm，E = 200 GPa，许用应力 250 MPa）放在一根黄铜管（外径 120 mm，内径 60 mm，E = 100 GPa，许用应力 100 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 Pmax。
杆: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPa管: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPa, σallow = 100 MPa
Pmax = kN
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 5 mE = 200 GPa (钢)d = 20 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 130 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。
P = 130 kNn = 3L = 3 mE = 70 GPa (铝)
d = mm
11.机械振动中等
一个 50 kg 的质量块由刚度为 20 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 600 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。
m = 50 kgk = 20 kN/mc = 600 N·s/m
ζ =
12.机械振动困难
一个 20 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 40 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 12 kN/m 和 k₂ = 20 kN/m 悬挂；杆保持水平。 忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 20 kgk1 = 12 kN/mk2 = 20 kN/mk3 = 40 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: Ft = 1372 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
小齿轮上的转矩
ω = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s
T = P/ω = 7500/303.7 = 24.7 N·m
分度圆直径
d = m·N = 2·18 = 36 mm
切向力
Ft = 2T/d = 2·24.7/0.036 = 1372 N
答案
Ft = 1372 N
2.齿轮与齿轮系
答案: nout = 696 rpm
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
第一级
nB = 1450·36/45 = 1160 rpm = nC
第二级
nout = 1160·36/60 = 696 rpm
答案
nout = 696 rpm
总传动比 = 2.083 : 1
3.轴的扭转
答案: φ = 2.882 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π(30⁴ − 15⁴)/32 = 74551 mm⁴
扭转角
T = 200 N·m = 200000 N·mm
L = 1.5 m = 1500 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = TL/(GJ) = 200000·1500/(80000·74551) = 0.0503 rad
φ = 0.0503·180/π = 2.882°
答案
φ = 2.882°
4.轴的扭转
答案: τmax = 14.9 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 50000/157.1 = 318.3 N·m
极惯性矩
J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴
最大切应力
τmax = T·(do/2)/J = 318310·25/534071 = 14.9 MPa
答案
τmax = 14.9 MPa
5.莫尔圆与应力变换
答案: τxy = 58.31 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
所需半径
C = (120 + (−30))/2 = 45 MPa
R = σ1 − C = 140 − 45 = 95 MPa
切应力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(95² − 75²) = 58.31 MPa
答案
τxy = 58.31 MPa
6.莫尔圆与应力变换
答案: σvM = 111.4 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。
主应力
C = −20 MPa, R = 63.25 MPa
σ1 = 43.25 MPa, σ2 = −83.25 MPa, σ3 = 0
冯·米塞斯
σvM = √(43.25² − 43.25·(−83.25) + (−83.25)²) = 111.4 MPa
答案
σvM = 111.4 MPa
7.轴向应力与应变
答案: ε = 808.4 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 40·1000/706.9 = 56.59 MPa
应变（胡克定律）
E for 铝 = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 56.59/70000 = 0.0008084 = 808.4 µε
答案
ε = 808.4 µε
8.轴向应力与应变
答案: Pmax = 989.6 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·706.9 + 100·10³·8482 = 9.896 × 10⁸ N
控制应变
ε = min(0.00125, 0.001) = 0.001 (黄铜)
最大载荷
Pmax = 0.001·9.896 × 10⁸ = 989602 N = 989.6 kN
答案
Pmax = 989.6 kN
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 2.481 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/2500² = 2481 N = 2.481 kN
答案
Pcr = 2.481 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 142.6 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 3·130000 = 390000 N
KL = 2·3000 = 6000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·390000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 142.6 mm
答案
d = 142.6 mm
校核：长细比 KL/r 为 168.3，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: ζ = 0.3
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
临界阻尼
cc = 2·√(k·m) = 2·√(20000·50) = 2000 N·s/m
阻尼比
ζ = c/cc = 600/2000 = 0.3
答案
ζ = 0.3
ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。
12.机械振动
答案: fn = 4.745 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
只有 k1 和 k2 是并联的。这一对与 k3 串联，所以要按倒数组合。
k12 = 12 + 20 = 32 kN/m
keq = 32·40/(32 + 40) = 17.78 kN/m
固有频率
ωn = √(17778/20) = 29.81 rad/s
fn = 29.81/(2π) = 4.745 Hz
答案
fn = 4.745 Hz
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