齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
两根平行轴相距 96 mm。须用一对模数为 4 mm、减速比为 2 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。 小齿轮须有多少个齿 N1？
a = 96 mmm = 4 mmi = 2
N1 =
2.齿轮与齿轮系困难
一条开口皮带连接一个 80 mm 的带轮和一个 500 mm 的带轮，二者中心相距 1200 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。
d1 = 80 mmd2 = 500 mmC = 1200 mm
θ = °
3.轴的扭转中等
一根钢实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 100 N·md = 50 mmL = 3 mG = 80 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根空心轴在 1000 rpm 下传递 15 kW。求轴中的最大切应力 τmax。
P = 15 kWN = 1000 rpmdo = 60 mmdi = 42 mm
τmax = MPa
5.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = −20 MPa、σᵧ = 60 MPa。在最大主应力达到 110 MPa 之前，切应力 τxy（大小）最大可以是多少？
σx = −20 MPaσy = 60 MPaσ1 = 110 MPa
τxy = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 110 MPa，σᵧ = −10 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（σz = 0）。 材料的屈服强度为 300 MPa。按特雷斯卡（最大切应力）准则求防止屈服的安全系数 n。
σx = 110 MPaσy = −10 MPaτxy = 30 MPaσY = 300 MPa
n =
7.轴向应力与应变中等
求铜杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 60 kNd = 20 mmL = 2 mE = 117 GPa
ε = µε
8.轴向应力与应变困难
一段钢（直径 40 mm，长 400 mm，E = 200 GPa）与一段青铜（直径 40 mm，长 200 mm，E = 110 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 20 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。
第 1 段: 钢, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPa第 2 段: 青铜, Ø40 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 20 kN
σ2 = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 5 mE = 200 GPa (钢)d = 80 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端铰接。它需承受 50 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。
P = 50 kNn = 2.5L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.机械振动中等
一个 80 kg 的质量块挂在刚度为 50 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.45。求其自由振动的有阻尼固有频率 fd，以 Hz 计。
m = 80 kgk = 50 kN/mζ = 0.45
fd = Hz
12.机械振动困难
一个 10 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 50 kN/m 和 k₂ = 30 kN/m。质量块保持水平。 忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 10 kgk1 = 50 kN/mk2 = 30 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: N1 = 16
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
总齿数
N1 + N2 = 2a/m = 2·96/4 = 48
按传动比分配
N1 = 48/(1 + 2) = 16
答案
N1 = 16
2.齿轮与齿轮系
答案: θ = 159.8 °
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
皮带角
asin(0.175) = 10.08°
包角
θ = 180 − 2·10.08 = 159.8°
答案
θ = 159.8°
3.轴的扭转
答案: φ = 0.3502 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 100·1000·3000/(80000·613592) = 0.006112 rad
φ = 0.006112·180/π = 0.3502°
答案
φ = 0.3502°
4.轴的扭转
答案: τmax = 4.444 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 15000/104.7 = 143.2 N·m
极惯性矩
J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴
最大切应力
τmax = T·(do/2)/J = 143239·30/966855 = 4.444 MPa
答案
τmax = 4.444 MPa
5.莫尔圆与应力变换
答案: τxy = 80.62 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
所需半径
C = (−20 + 60)/2 = 20 MPa
R = σ1 − C = 110 − 20 = 90 MPa
切应力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(90² − 40²) = 80.62 MPa
答案
τxy = 80.62 MPa
6.莫尔圆与应力变换
答案: n = 2.236
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。
主应力
C = 50 MPa, R = 67.08 MPa
σ1 = 117.1 MPa, σ2 = −17.08 MPa, σ3 = 0
特雷斯卡
σmax − σmin = 134.2 MPa
n = 300/134.2 = 2.236
答案
n = 2.236
n > 1 表示该点不屈服；特雷斯卡准则比冯·米塞斯准则稍保守。
7.轴向应力与应变
答案: ε = 1632 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 60·1000/314.2 = 191 MPa
应变（胡克定律）
E for 铜 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 191/117000 = 0.001632 = 1632 µε
答案
ε = 1632 µε
8.轴向应力与应变
答案: σ2 = 8.337 MPa
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
刚度
k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm
k₂ = 110000·1257/200 = 691150 N/mm
第 2 段的份额
F2 = 20000·691150/1.319 × 10⁶ = 10476 N
应力
σ2 = 10476/1257 = 8.337 MPa （压缩）
答案
σ2 = 8.337 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 324 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
计算长度
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2.011 × 10⁶/3500² = 323984 N = 324 kN
答案
Pcr = 324 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 41.28 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2.5·50000 = 125000 N
KL = 1·1500 = 1500 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·125000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 41.28 mm
答案
d = 41.28 mm
校核：长细比 KL/r 为 145.4，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: fd = 3.553 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
无阻尼固有频率
ωn = √(50000/80) = 25 rad/s
fn = 25/(2π) = 3.979 Hz
有阻尼固有频率
fd = fn·√(1 − ζ²) = 3.979·√(1 − 0.45²) = 3.553 Hz
答案
fd = 3.553 Hz
12.机械振动
答案: fn = 14.24 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k1 + k2。
keq = 50 + 30 = 80 kN/m
固有频率
ωn = √(80000/10) = 89.44 rad/s
fn = 89.44/(2π) = 14.24 Hz
答案
fn = 14.24 Hz
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