齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 15 kW 的电动机以 1450 rpm 运转，驱动一个齿数为 36 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 72 的大齿轮啮合。 该齿轮副的效率为 95%。 求电动机轴上的扭矩 T1。
P = 15 kWn1 = 1450 rpmN1 = 36N2 = 72η = 95%
T1 = N·m
2.齿轮与齿轮系困难
一台 7.5 kW、1440 rpm 的电动机驱动齿轮 A（24 齿），A 与齿轮 B（30 齿）啮合。与 B 同轴的齿轮 C（15 齿）驱动输出轴上的齿轮 D（25 齿）。每对齿轮啮合的效率为 96%。求输出转矩 Tout。
P = 7.5 kWnin = 1440 rpmA = 24B = 30C = 15D = 25ηmesh = 96%
Tout = N·m
3.轴的扭转中等
在扭转试验中，一根直径 12 mm 的实心试件受 40 N·m 的扭矩作用。标距 200 mm 两端的相对转角为 5.77°（材料仍处于弹性范围）。求材料的切变模量 G。
T = 40 N·md = 12 mmL = 200 mmφ = 5.77°
G = GPa
4.轴的扭转困难
一根实心轴需在 1500 rpm 下传递 10 kW，且切应力不超过 75 MPa。求满足要求的最小直径 d。
P = 10 kWN = 1500 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = −10 MPa、σᵧ = 100 MPa、τₓᵧ = −30 MPa（拉为正）。单元体按逆时针 15°旋转。求旋转后单元体上垂直于旋转后 y′ 轴的面上的正应力 σy′。
σx = −10 MPaσy = 100 MPaτxy = −30 MPaθ = 15°
σy′ = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 80 MPa，σᵧ = 110 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 20° 的截面上的正应力 σθ。
σx = 80 MPaσy = 110 MPaτxy = 30 MPaθ = 20°
σθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
求铝杆在轴向荷载下的伸长量 δ。
P = 25 kNd = 30 mmL = 1.5 mE = 70 GPa
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 105 kN第 1 段：Ø35 mm，1 m，铝（E = 70 GPa）第 2 段：Ø12 mm，1.5 m，黄铜（E = 100 GPa）
δ = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 4 mE = 200 GPa (钢)d = 50 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝实心圆柱，两端铰接。它需承受 20 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。
P = 20 kNn = 3L = 6 mE = 70 GPa (铝)
d = mm
11.机械振动中等
在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 15 mm 之后一个周期出现峰值 11 mm。 求阻尼比 ζ。
x0 = 15 mmx1 = 11 mmn = 1
ζ =
12.机械振动困难
一个 50 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 100 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 60 kN/m 和 k₂ = 30 kN/m 悬挂；杆保持水平。 忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 50 kgk1 = 60 kN/mk2 = 30 kN/mk3 = 100 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: T1 = 98.79 N·m
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
电动机扭矩
ω₁ = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 15000/151.8 = 98.79 N·m
答案
T1 = 98.79 N·m
2.齿轮与齿轮系
答案: Tout = 95.49 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
输出转速
nout = 1440·(24/30)·(15/25) = 691.2 rpm
ωout = 2π·691.2/60 = 72.38 rad/s
输出功率和转矩
Pout = 7500·0.96² = 6912 W
Tout = Pout/ωout = 6912/72.38 = 95.49 N·m
答案
Tout = 95.49 N·m
3.轴的扭转
答案: G = 39.02 GPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩和角度
J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴
φ = 5.77·π/180 = 0.1007 rad
剪切模量
T = 40 N·m = 40000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 40000·200/(2036·0.1007) = 39022 MPa
G = 39.02 GPa
答案
G = 39.02 GPa
作比较：钢 ≈ 80 GPa，黄铜 ≈ 39 GPa，铝 ≈ 26 GPa。
4.轴的扭转
答案: d = 16.29 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 10000/157.1 = 63.66 N·m
由许用应力求直径
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·63662/(π·75)) = 16.29 mm
答案
d = 16.29 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
5.莫尔圆与应力变换
答案: σy′ = 107.6 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
y′ 面的变换公式
σy′ = 45 − (−55)·0.866 − (−30)·0.5 = 107.6 MPa
校核
正应力之和不随旋转而变化。
σx′ = −17.63 MPa, σx′ + σy′ = 90 = σx + σy
答案
σy′ = 107.6 MPa
6.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = 102.8 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = 95 + −15·0.766 + 30·0.6428 = 102.8 MPa
答案
σθ = 102.8 MPa
7.轴向应力与应变
答案: δ = 0.7579 mm
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 25·1000/706.9 = 35.37 MPa
应变（胡克定律）
E for 铝 = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 35.37/70000 = 0.0005053 = 505.3 µε
伸长量
δ = ε·L = 0.0005053·1500 mm = 0.7579 mm
答案
δ = 0.7579 mm
8.轴向应力与应变
答案: δ = 15.49 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 109.1 MPa
σ2 = 928.4 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 109.1·1000/70000 = 1.559 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 928.4·1500/100000 = 13.93 mm
δ = δ1 + δ2 = 15.49 mm
答案
δ = 15.49 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 37.85 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
计算长度
KL = 1·4000 = 4000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/4000² = 37849 N = 37.85 kN
答案
Pcr = 37.85 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 89.33 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 3·20000 = 60000 N
KL = 1·6000 = 6000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 89.33 mm
答案
d = 89.33 mm
校核：长细比 KL/r 为 268.7，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: ζ = 0.0493
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
对数衰减率
δ = (1/1)·ln(15/11) = 0.3102
阻尼比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3102/√(39.48 + 0.0962) = 0.0493
答案
ζ = 0.0493
12.机械振动
答案: fn = 4.899 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
只有 k1 和 k2 是并联的。这一对与 k3 串联，所以要按倒数组合。
k12 = 60 + 30 = 90 kN/m
keq = 90·100/(90 + 100) = 47.37 kN/m
固有频率
ωn = √(47368/50) = 30.78 rad/s
fn = 30.78/(2π) = 4.899 Hz
答案
fn = 4.899 Hz
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