齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一个 4 头的蜗杆以 1440 rpm 转动，驱动一个 48 齿的蜗轮。求蜗轮的转速 nw。
z = 4Nw = 48n = 1440 rpm
nw = rpm
2.齿轮与齿轮系困难
一条开口皮带连接一个 80 mm 的带轮和一个 200 mm 的带轮，二者中心相距 500 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。
d1 = 80 mmd2 = 200 mmC = 500 mm
θ = °
3.轴的扭转中等
一根黄铜实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 500 N·md = 50 mmL = 3 mG = 39 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根直径 60 mm 的实心铝轴两端 A 和 B 都固定在刚性墙上。在距 A 1 m、距 B 2.5 m 的 C 处施加 750 N·m 的扭矩。 求截面 C 的转角 φC，以度表示。
d = 60 mmT0 = 750 N·ma = 1 mb = 2.5 mG = 26 GPa
φC = °
5.莫尔圆与应力变换中等
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 30 MPa，σᵧ = 0 MPa，τₓᵧ = 20 MPa，σz = 0。求该点的绝对最大切应力 τabs（考虑三维中所有平面）。
σx = 30 MPaσy = 0 MPaτxy = 20 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = −70 MPa，σᵧ = 100 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（σz = 0）。 求冯·米塞斯等效应力 σvM。
σx = −70 MPaσy = 100 MPaτxy = 30 MPa
σvM = MPa
7.轴向应力与应变中等
一根钢杆（直径 25 mm，E = 200 GPa）放在一根铜管（外径 100 mm，内径 70 mm，E = 120 GPa）内。二者长度均为 800 mm，在刚性板之间被 80 kN 的力一起压缩。 求缩短量 δ。
P = 80 kN杆: Ø25 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø70 mm, E = 120 GPaL = 800 mm
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 40 kN第 1 段：Ø35 mm，1.5 m，铜（E = 117 GPa）第 2 段：Ø20 mm，0.5 m，铜（E = 117 GPa）
σmax = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2 mE = 200 GPa (钢)d = 40 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 45 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。
P = 45 kNn = 2.5L = 2 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.机械振动中等
在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 30 mm 之后一个周期出现峰值 21.9 mm。 求阻尼比 ζ。
x0 = 30 mmx1 = 21.9 mmn = 1
ζ =
12.机械振动困难
一个 10 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 80 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 12 kN/m 和 k₂ = 50 kN/m 悬挂；杆保持水平。 忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 10 kgk1 = 12 kN/mk2 = 50 kN/mk3 = 80 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: nw = 120 rpm
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
蜗轮转速
nw = n·z/Nw = 1440·4/48 = 120 rpm
答案
nw = 120 rpm
2.齿轮与齿轮系
答案: θ = 166.2 °
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
皮带角
asin(0.12) = 6.892°
包角
θ = 180 − 2·6.892 = 166.2°
答案
θ = 166.2°
3.轴的扭转
答案: φ = 3.591 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 500·1000·3000/(39000·613592) = 0.06268 rad
φ = 0.06268·180/π = 3.591°
答案
φ = 3.591°
4.轴的扭转
答案: φC = 0.9278 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。 两端都固定时，仅靠静力学只能得到 TA + TB = T₀；第二个方程是变形协调条件（两部分在受荷截面处的扭转角相等）。
平衡和变形协调
TA + TB = 750
TA·a = TB·b
TA = 750·2.5/3.5 = 535.7 N·m
TB = 750·1/3.5 = 214.3 N·m
C 的转角
用 AC 段：它在 A 端固定，承受 TA。
J = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴
G = 26 GPa = 26000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 535714·1000/(26000·1.272 × 10⁶) = 0.01619 rad = 0.9278°
答案
φC = 0.9278°
5.莫尔圆与应力变换
答案: τabs = 25 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 在三维中，绝对最大切应力为三个主应力中 (σmax − σmin)/2；平面应力状态下第三个主应力为零。
面内主应力
C = 15 MPa, R = √(15² + 20²) = 25 MPa
σ1 = 40 MPa, σ2 = −10 MPa, σz = 0
三个圆中最大的
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(50, 40, 10)/2 = 25 MPa
答案
τabs = 25 MPa
这里 σ₁ 和 σ₂ 异号，所以面内最大值 R 也就是绝对最大值。
6.莫尔圆与应力变换
答案: σvM = 156.8 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。
主应力
C = 15 MPa, R = 90.14 MPa
σ1 = 105.1 MPa, σ2 = −75.14 MPa, σ3 = 0
冯·米塞斯
σvM = √(105.1² − 105.1·(−75.14) + (−75.14)²) = 156.8 MPa
答案
σvM = 156.8 MPa
7.轴向应力与应变
答案: δ = 0.1106 mm
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·490.9 + 120·10³·4006 = 5.788 × 10⁸ N
缩短量
δ = 80000·800/5.788 × 10⁸ = 0.1106 mm
答案
δ = 0.1106 mm
8.轴向应力与应变
答案: σmax = 127.3 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 41.58 MPa
σ2 = 127.3 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 127.3 MPa
答案
σmax = 127.3 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 126.6 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·2000 = 1400 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1400² = 126556 N = 126.6 kN
答案
Pcr = 126.6 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 65.65 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2.5·45000 = 112500 N
KL = 2·2000 = 4000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·112500·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 65.65 mm
答案
d = 65.65 mm
校核：长细比 KL/r 为 243.7，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: ζ = 0.05003
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
对数衰减率
δ = (1/1)·ln(30/21.9) = 0.3147
阻尼比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3147/√(39.48 + 0.09904) = 0.05003
答案
ζ = 0.05003
12.机械振动
答案: fn = 9.406 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
只有 k1 和 k2 是并联的。这一对与 k3 串联，所以要按倒数组合。
k12 = 12 + 50 = 62 kN/m
keq = 62·80/(62 + 80) = 34.93 kN/m
固有频率
ωn = √(34930/10) = 59.1 rad/s
fn = 59.1/(2π) = 9.406 Hz
答案
fn = 9.406 Hz
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