机械设计：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

轴的扭转

切应力: τ = T·r/J
实心轴: J = πd⁴/32
空心轴: J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角: φ = TL/(GJ)
功率: P = T·ω = 2πnT/60

方法

求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

莫尔圆与应力变换

圆心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主应力: σ_1,2 = C ± R
主方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜截面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

方法

计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

轴向应力与应变

正应力: σ = F/A
应变: ε = ΔL/L
胡克定律: σ = E·ε
伸长量: ΔL = FL/(EA)
热应变: ε_T = α·ΔT

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.齿轮与齿轮系中等

一个 160 mm 的带轮以 2880 rpm 通过皮带驱动一个 200 mm 的带轮，打滑率为 2 %。求从动轮的转速 n₂。

n₁ = 2880 rpmd₁ = 160 mmd₂ = 200 mms = 2 %

n₂ = rpm

2.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（32 齿）以 1500 rpm 转动，驱动齿轮 B（80 齿）。齿轮 C（16 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（36 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 1500 rpmA = 32B = 80C = 16D = 36

n_out = rpm

3.轴的扭转中等

一根长 2.5 m 的实心黄铜轴承受 200 N·m 的扭矩。两端之间的扭转角不得超过 2°。求满足该限值的最小直径 d。

T = 200 N·mL = 2.5 mG = 39 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.轴的扭转困难

一根直径 30 mm 的实心黄铜轴在 A 端固定。距 A 3 m 的 B 处作用 100 N·m 的扭矩，再往前 2 m 的自由端 C 处作用一个反向的 500 N·m 扭矩。求轴中的最大切应力 τ_max。

d = 30 mmT_B = 100 N·mT_C = 500 N·mAB = 3 mBC = 2 m

τ_max = MPa

5.莫尔圆与应力变换中等

某点 σₓ = 130 MPa、σᵧ = 0 MPa、τₓᵧ = 60 MPa（拉为正）。求从 x 轴到某平面法线的角度 θ_s（在 −90° 到 90° 之间），该平面上的切应力达到最大正值 +R（切应力与 τₓᵧ 同向为正）。

σ_x = 130 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_s = °

6.莫尔圆与应力变换困难

一个薄壁圆柱形储罐，内径 1000 mm，壁厚 8 mm，所盛气体的表压为 1.2 MPa。它由钢板沿与圆柱轴线成 30° 的螺旋焊缝焊接而成。求作用在焊缝上（垂直于焊缝）的正应力 σ_n。

D = 1000 mmt = 8 mmp = 1.2 MPaα = 30°

σ_n = MPa

7.轴向应力与应变中等

求黄铜杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。

P = 30 kNd = 20 mmL = 2 mE = 100 GPa

ε = µε

8.轴向应力与应变困难

一段钢（直径 30 mm，长 500 mm，E = 200 GPa）与一段黄铜（直径 30 mm，长 500 mm，E = 100 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 30 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ₂。

第 1 段: 钢, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPa第 2 段: 黄铜, Ø30 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 3 mE = 70 GPa (铝)d = 60 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢实心圆柱，两端固定。它需承受 10 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。

P = 10 kNn = 2.5L = 3 mE = 200 GPa (钢)

d = mm

11.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 12 mm 之后 5 个周期出现峰值 4.7 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 12 mmx₅ = 4.7 mmn = 5

ζ =

12.机械振动困难

一个 40 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 12 kN/m 和 k₂ = 5 kN/m。质量块保持水平。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 40 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 5 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.齿轮与齿轮系

答案: n₂ = 2258 rpm

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

无打滑时的转速

2880·160/200 = 2304 rpm

有打滑

n₂ = 2304·0.98 = 2258 rpm

答案

n₂ = 2258 rpm

2.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 266.7 rpm

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

第一级

n_B = 1500·32/80 = 600 rpm = n_C

第二级

n_out = 600·16/36 = 266.7 rpm

答案

n_out = 266.7 rpm

总传动比 = 5.625 : 1

3.轴的扭转

答案: d = 43.98 mm

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

所需的极惯性矩

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 2.5 m = 2500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 2·π/180 = 0.03491 rad

J = TL/(Gφ) = 200000·2500/(39000·0.03491) = 367281 mm⁴

直径

d = (32J/π)^1/4 = 43.98 mm

答案

d = 43.98 mm

实际中会向上取到下一个标准尺寸。

4.轴的扭转

答案: τ_max = 94.31 MPa

内扭矩

取 T_C 的转向为正。

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 500 − 100 = 400 N·m

最大切应力

内扭矩最大的一段应力最大（直径相同）。

|T|_max = 500 N·m

τ_max = 16·500000/(π·30³) = 94.31 MPa

答案

τ_max = 94.31 MPa

5.莫尔圆与应力变换

答案: θ_s = −23.65 °

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

圆上的角度

在莫尔圆上，最高点 (+R) 与主应力点 σ₁ 相差 90°；在单元体上为 45°。

cos 2θ_s = 60/88.46 = 0.6783, sin 2θ_s = −65/88.46 = −0.7348

2θ_s = atan2(−65, 60) = −47.29°

单元体上的角度

θ_s = −23.65°

校核: θ_s − θ_p = −23.65 − 21.35 = −45°

答案

θ_s = −23.65°

逆时针方向的角度为正。

6.莫尔圆与应力变换

答案: σ_n = 65.63 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 薄壁圆筒：环向应力 σ_h = pr/t，轴向应力 σ_a = pr/(2t)；它们就是筒壁中的主应力。

筒壁应力

r = 1000/2 = 500 mm

σ_h = pr/t = 1.2·500/8 = 75 MPa

σ_a = pr/(2t) = 37.5 MPa

变换到焊缝

取 x 沿轴线 (σ_a)，y 沿环向 (σ_h)。焊缝的法线与轴线成 90° − α。

σ_n = 37.5·sin²30° + 75·cos²30° = 65.63 MPa

答案

σ_n = 65.63 MPa

7.轴向应力与应变

答案: ε = 954.9 µε

胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。

应力

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 30·1000/314.2 = 95.49 MPa

应变（胡克定律）

E for 黄铜 = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 95.49/100000 = 0.0009549 = 954.9 µε

答案

ε = 954.9 µε

8.轴向应力与应变

答案: σ₂ = 14.15 MPa

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，P_i = P·E_iA_i/ΣEA，σ_i = E_i·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

刚度

k₁ = 200000·706.9/500 = 282743 N/mm

k₂ = 100000·706.9/500 = 141372 N/mm

第 2 段的份额

F₂ = 30000·141372/424115 = 10000 N

应力

σ₂ = 10000/706.9 = 14.15 MPa （压缩）

答案

σ₂ = 14.15 MPa

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 195.3 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

计算长度

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/1500² = 195340 N = 195.3 kN

答案

P_cr = 195.3 kN

10.柱的屈曲

答案: d = 27.6 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 2.5·10000 = 25000 N

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·25000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 27.6 mm

答案

d = 27.6 mm

校核：长细比 KL/r 为 217.4，柱为细长柱，适用欧拉公式。

11.机械振动

答案: ζ = 0.02982

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/5)·ln(12/4.7) = 0.1875

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1875/√(39.48 + 0.03514) = 0.02982

答案

ζ = 0.02982

12.机械振动

答案: f_n = 3.281 Hz

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 12 + 5 = 17 kN/m

固有频率

ω_n = √(17000/40) = 20.62 rad/s

f_n = 20.62/(2π) = 3.281 Hz

答案

f_n = 3.281 Hz

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