齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
两根平行轴相距 67.5 mm。须用一对模数为 3 mm、减速比为 1.5 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。 大齿轮须有多少个齿 N2？
a = 67.5 mmm = 3 mmi = 1.5
N2 =
2.齿轮与齿轮系困难
在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（30 齿）以 1450 rpm 转动，驱动齿轮 B（45 齿）。齿轮 C（60 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（72 齿）。求输出转速 nout。
nin = 1450 rpmA = 30B = 45C = 60D = 72
nout = rpm
3.轴的扭转中等
一根铝实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 1000 N·md = 40 mmL = 0.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根直径 30 mm 的实心铝轴两端 A 和 B 都固定在刚性墙上。在距 A 2.5 m、距 B 1.2 m 的 C 处施加 500 N·m 的扭矩。 求墙 A 处的反扭矩 TA。
d = 30 mmT0 = 500 N·ma = 2.5 mb = 1.2 m
TA = N·m
5.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 150 MPa，σᵧ = 30 MPa，τₓᵧ = −50 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = 150 MPaσy = 30 MPaτxy = −50 MPa
θp = °
6.莫尔圆与应力变换困难
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 160 MPa，σᵧ = 30 MPa，τₓᵧ = −40 MPa（σz = 0）。 求冯·米塞斯等效应力 σvM。
σx = 160 MPaσy = 30 MPaτxy = −40 MPa
σvM = MPa
7.轴向应力与应变中等
求钢杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 25 kNd = 25 mmL = 3 mE = 200 GPa
ε = µε
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 10 kN第 1 段：Ø30 mm，1.5 m，铝（E = 70 GPa）第 2 段：Ø16 mm，1 m，铜（E = 117 GPa）
σmax = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2 mE = 70 GPa (铝)b × h = 20 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端铰接。它需承受 150 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。
P = 150 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.机械振动中等
一个 40 kg 的质量块挂在刚度为 20 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.35。求其自由振动的有阻尼固有频率 fd，以 Hz 计。
m = 40 kgk = 20 kN/mζ = 0.35
fd = Hz
12.机械振动困难
一个 20 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 40 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 40 kN/m 和 k₂ = 15 kN/m 悬挂；杆保持水平。 忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 20 kgk1 = 40 kN/mk2 = 15 kN/mk3 = 40 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: N2 = 27
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
总齿数
N1 + N2 = 2a/m = 2·67.5/3 = 45
按传动比分配
N1 = 45/(1 + 1.5) = 18
N2 = 1.5·18 = 27
答案
N2 = 27
2.齿轮与齿轮系
答案: nout = 805.6 rpm
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
第一级
nB = 1450·30/45 = 966.7 rpm = nC
第二级
nout = 966.7·60/72 = 805.6 rpm
答案
nout = 805.6 rpm
总传动比 = 1.8 : 1
3.轴的扭转
答案: φ = 4.384 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 1000·1000·500/(26000·251327) = 0.07652 rad
φ = 0.07652·180/π = 4.384°
答案
φ = 4.384°
4.轴的扭转
答案: TA = 162.2 N·m
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。 两端都固定时，仅靠静力学只能得到 TA + TB = T₀；第二个方程是变形协调条件（两部分在受荷截面处的扭转角相等）。
平衡和变形协调
TA + TB = 500
TA·a = TB·b
TA = 500·1.2/3.7 = 162.2 N·m
TB = 500·2.5/3.7 = 337.8 N·m
答案
TA = 162.2 N·m
5.莫尔圆与应力变换
答案: θp = −19.9 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·−50, 150 − 30) = −39.81°
单元体上的角度
θp = −19.9°
答案
θp = −19.9°
逆时针方向的角度为正。
6.莫尔圆与应力变换
答案: σvM = 162.8 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。
主应力
C = 95 MPa, R = 76.32 MPa
σ1 = 171.3 MPa, σ2 = 18.68 MPa, σ3 = 0
冯·米塞斯
σvM = √(171.3² − 171.3·18.68 + 18.68²) = 162.8 MPa
答案
σvM = 162.8 MPa
7.轴向应力与应变
答案: ε = 254.6 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 25·1000/490.9 = 50.93 MPa
应变（胡克定律）
E for 钢 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 50.93/200000 = 0.0002546 = 254.6 µε
答案
ε = 254.6 µε
8.轴向应力与应变
答案: σmax = 49.74 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 14.15 MPa
σ2 = 49.74 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 49.74 MPa
答案
σmax = 49.74 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 46.06 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·2000 = 1000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·66667/1000² = 46058 N = 46.06 kN
答案
Pcr = 46.06 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 83.89 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2·150000 = 300000 N
KL = 1·4000 = 4000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 83.89 mm
答案
d = 83.89 mm
校核：长细比 KL/r 为 190.7，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: fd = 3.334 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
无阻尼固有频率
ωn = √(20000/40) = 22.36 rad/s
fn = 22.36/(2π) = 3.559 Hz
有阻尼固有频率
fd = fn·√(1 − ζ²) = 3.559·√(1 − 0.35²) = 3.334 Hz
答案
fd = 3.334 Hz
12.机械振动
答案: fn = 5.416 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
只有 k1 和 k2 是并联的。这一对与 k3 串联，所以要按倒数组合。
k12 = 40 + 15 = 55 kN/m
keq = 55·40/(55 + 40) = 23.16 kN/m
固有频率
ωn = √(23158/20) = 34.03 rad/s
fn = 34.03/(2π) = 5.416 Hz
答案
fn = 5.416 Hz
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