齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
两根平行轴相距 112.5 mm。须用一对模数为 5 mm、减速比为 2 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。 大齿轮须有多少个齿 N2？
a = 112.5 mmm = 5 mmi = 2
N2 =
2.齿轮与齿轮系困难
一条开口皮带连接一个 160 mm 的带轮和一个 450 mm 的带轮，二者中心相距 1200 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。
d1 = 160 mmd2 = 450 mmC = 1200 mm
θ = °
3.轴的扭转中等
一根空心轴须承受 200 N·m 的扭矩。 其内径为外径的 0.75 倍，切应力不得超过 50 MPa。求最小外径 do。
T = 200 N·mdi/do = 0.75τallow = 50 MPa
do = mm
4.轴的扭转困难
一根实心轴需在 300 rpm 下传递 5 kW，且切应力不超过 60 MPa。求满足要求的最小直径 d。
P = 5 kWN = 300 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = −50 MPa，σᵧ = 90 MPa，τₓᵧ = −50 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = −50 MPaσy = 90 MPaτxy = −50 MPa
θp = °
6.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = −30 MPa，σᵧ = −20 MPa，τₓᵧ = 50 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴顺时针转过 20° 的截面上的正应力 σθ。
σx = −30 MPaσy = −20 MPaτxy = 50 MPaθ = -20°
σθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 20 mm，长 400 mm，E = 200 GPa）与一段黄铜（直径 40 mm，长 300 mm，E = 100 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.25 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPa第 2 段: 黄铜, Ø40 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0.25 mm
P = kN
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 55 kN第 1 段：Ø40 mm，1.5 m，钢（E = 200 GPa）第 2 段：Ø20 mm，1 m，钢（E = 200 GPa）
σmax = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 4 mE = 200 GPa (钢)b × h = 25 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 120 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。
P = 120 kNn = 2.5L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)
d = mm
11.机械振动中等
在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 50 mm 之后 2 个周期出现峰值 14.1 mm。 求阻尼比 ζ。
x0 = 50 mmx2 = 14.1 mmn = 2
ζ =
12.机械振动困难
一个 100 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 25 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 30 kN/m 和 k₂ = 80 kN/m 悬挂；杆保持水平。 忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 100 kgk1 = 30 kN/mk2 = 80 kN/mk3 = 25 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: N2 = 30
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
总齿数
N1 + N2 = 2a/m = 2·112.5/5 = 45
按传动比分配
N1 = 45/(1 + 2) = 15
N2 = 2·15 = 30
答案
N2 = 30
2.齿轮与齿轮系
答案: θ = 166.1 °
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
皮带角
asin(0.1208) = 6.94°
包角
θ = 180 − 2·6.94 = 166.1°
答案
θ = 166.1°
3.轴的扭转
答案: do = 31 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
由容许应力求外径
T = 200 N·m = 200000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·200000/(π·50·0.6836)) = 31 mm
di = 0.75·31 = 23.25 mm
答案
do = 31 mm
实心轴需要 d = 27.31 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。
4.轴的扭转
答案: d = 23.82 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 5000/31.42 = 159.2 N·m
由许用应力求直径
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·159155/(π·60)) = 23.82 mm
答案
d = 23.82 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
5.莫尔圆与应力变换
答案: θp = −72.23 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·−50, −50 − 90) = −144.5°
单元体上的角度
θp = −72.23°
答案
θp = −72.23°
逆时针方向的角度为正。
6.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = −60.97 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = −25 + −5·0.766 + 50·−0.6428 = −60.97 MPa
答案
σθ = −60.97 MPa
7.轴向应力与应变
答案: P = 28.56 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 314.2 mm², A₂ = 1257 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·314.2) = 6.366 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·1257) = 2.387 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.25/8.754 × 10⁻⁶ = 28560 N = 28.56 kN
答案
P = 28.56 kN
8.轴向应力与应变
答案: σmax = 175.1 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 43.77 MPa
σ2 = 175.1 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 175.1 MPa
答案
σmax = 175.1 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 2.41 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴
计算长度
KL = 2·4000 = 8000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/8000² = 2410 N = 2.41 kN
答案
Pcr = 2.41 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 94.46 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2.5·120000 = 300000 N
KL = 2·1500 = 3000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 94.46 mm
答案
d = 94.46 mm
校核：长细比 KL/r 为 127，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: ζ = 0.1002
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
对数衰减率
δ = (1/2)·ln(50/14.1) = 0.6329
阻尼比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.6329/√(39.48 + 0.4006) = 0.1002
答案
ζ = 0.1002
12.机械振动
答案: fn = 2.272 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
只有 k1 和 k2 是并联的。这一对与 k3 串联，所以要按倒数组合。
k12 = 30 + 80 = 110 kN/m
keq = 110·25/(110 + 25) = 20.37 kN/m
固有频率
ωn = √(20370/100) = 14.27 rad/s
fn = 14.27/(2π) = 2.272 Hz
答案
fn = 2.272 Hz
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