齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一个 100 mm 的带轮以 1440 rpm 通过皮带驱动一个 250 mm 的带轮，打滑率为 2.5 %。求从动轮的转速 n2。
n1 = 1440 rpmd1 = 100 mmd2 = 250 mms = 2.5 %
n2 = rpm
2.齿轮与齿轮系困难
一台 4 kW、1440 rpm 的电动机驱动齿轮 A（40 齿），A 与齿轮 B（72 齿）啮合。与 B 同轴的齿轮 C（30 齿）驱动输出轴上的齿轮 D（32 齿）。每对齿轮啮合的效率为 97%。求输出转矩 Tout。
P = 4 kWnin = 1440 rpmA = 40B = 72C = 30D = 32ηmesh = 97%
Tout = N·m
3.轴的扭转中等
一根空心铝轴（外径 30 mm，内径 15 mm，长 1.2 m）一端固定，另一端受 200 N·m 的扭矩作用。求扭转角 φ，以度表示。
T = 200 N·mdo = 30 mmdi = 15 mmL = 1.2 mG = 26 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根实心轴需在 3000 rpm 下传递 30 kW，且切应力不超过 75 MPa。求满足要求的最小直径 d。
P = 30 kWN = 3000 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = −60 MPa，σᵧ = 20 MPa，τₓᵧ = 30 MPa，σz = 0。求该点的绝对最大切应力 τabs（考虑三维中所有平面）。
σx = −60 MPaσy = 20 MPaτxy = 30 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
一个薄壁圆柱形储罐，内径 500 mm，壁厚 12 mm，所盛气体的表压为 3 MPa。它由钢板沿与圆柱轴线成 60° 的螺旋焊缝焊接而成。 求作用在焊缝上（垂直于焊缝）的正应力 σn。
D = 500 mmt = 12 mmp = 3 MPaα = 60°
σn = MPa
7.轴向应力与应变中等
求黄铜杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 60 kNd = 16 mmL = 1 mE = 100 GPa
ε = µε
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 35 kN第 1 段：Ø40 mm，2 m，铝（E = 70 GPa）第 2 段：Ø20 mm，1 m，钢（E = 200 GPa）
σmax = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 6 mE = 70 GPa (铝)b × h = 25 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 6 mE = 70 GPa (铝)d = 60 mm
σcr = MPa
11.机械振动中等
一个 250 kg 的质量块挂在刚度为 80 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.45。求其自由振动的有阻尼固有频率 fd，以 Hz 计。
m = 250 kgk = 80 kN/mζ = 0.45
fd = Hz
12.机械振动困难
一个 10 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 25 kN/m 和 k₂ = 60 kN/m。质量块保持水平。 忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 10 kgk1 = 25 kN/mk2 = 60 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: n2 = 561.6 rpm
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
无打滑时的转速
1440·100/250 = 576 rpm
有打滑
n2 = 576·0.975 = 561.6 rpm
答案
n2 = 561.6 rpm
2.齿轮与齿轮系
答案: Tout = 47.92 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
输出转速
nout = 1440·(40/72)·(30/32) = 750 rpm
ωout = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
输出功率和转矩
Pout = 4000·0.97² = 3764 W
Tout = Pout/ωout = 3764/78.54 = 47.92 N·m
答案
Tout = 47.92 N·m
3.轴的扭转
答案: φ = 7.094 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π(30⁴ − 15⁴)/32 = 74551 mm⁴
扭转角
T = 200 N·m = 200000 N·mm
L = 1.2 m = 1200 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = TL/(GJ) = 200000·1200/(26000·74551) = 0.1238 rad
φ = 0.1238·180/π = 7.094°
答案
φ = 7.094°
4.轴的扭转
答案: d = 18.65 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 30000/314.2 = 95.49 N·m
由许用应力求直径
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·95493/(π·75)) = 18.65 mm
答案
d = 18.65 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
5.莫尔圆与应力变换
答案: τabs = 50 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 在三维中，绝对最大切应力为三个主应力中 (σmax − σmin)/2；平面应力状态下第三个主应力为零。
面内主应力
C = −20 MPa, R = √((−40)² + 30²) = 50 MPa
σ1 = 30 MPa, σ2 = −70 MPa, σz = 0
三个圆中最大的
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(100, 30, 70)/2 = 50 MPa
答案
τabs = 50 MPa
这里 σ₁ 和 σ₂ 异号，所以面内最大值 R 也就是绝对最大值。
6.莫尔圆与应力变换
答案: σn = 39.06 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 薄壁圆筒：环向应力 σh = pr/t，轴向应力 σa = pr/(2t)；它们就是筒壁中的主应力。
筒壁应力
r = 500/2 = 250 mm
σh = pr/t = 3·250/12 = 62.5 MPa
σa = pr/(2t) = 31.25 MPa
变换到焊缝
取 x 沿轴线 (σa)，y 沿环向 (σh)。焊缝的法线与轴线成 90° − α。
σn = 31.25·sin²60° + 62.5·cos²60° = 39.06 MPa
答案
σn = 39.06 MPa
7.轴向应力与应变
答案: ε = 2984 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 60·1000/201.1 = 298.4 MPa
应变（胡克定律）
E for 黄铜 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 298.4/100000 = 0.002984 = 2984 µε
答案
ε = 2984 µε
8.轴向应力与应变
答案: σmax = 111.4 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 27.85 MPa
σ2 = 111.4 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 111.4 MPa
答案
σmax = 111.4 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 9.995 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·130208/3000² = 9995 N = 9.995 kN
答案
Pcr = 9.995 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 1.079 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
回转半径和长细比
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·6000 = 12000 mm
KL/r = 12000/15 = 800
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/800² = 1.079 MPa
答案
σcr = 1.079 MPa
11.机械振动
答案: fd = 2.542 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
无阻尼固有频率
ωn = √(80000/250) = 17.89 rad/s
fn = 17.89/(2π) = 2.847 Hz
有阻尼固有频率
fd = fn·√(1 − ζ²) = 2.847·√(1 − 0.45²) = 2.542 Hz
答案
fd = 2.542 Hz
12.机械振动
答案: fn = 14.67 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k1 + k2。
keq = 25 + 60 = 85 kN/m
固有频率
ωn = √(85000/10) = 92.2 rad/s
fn = 92.2/(2π) = 14.67 Hz
答案
fn = 14.67 Hz
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