机械设计：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

齿轮与齿轮系

啮合齿轮
n1·N1 = n2·N2
扭矩
T2 = T1·(N2/N1)·η
功率
P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系
总传动比 = 各级传动比之积

轴的扭转

切应力
τ = T·r/J
实心轴
J = πd⁴/32
空心轴
J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角
φ = TL/(GJ)
功率
P = T·ω = 2πnT/60

方法

  1. 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
  2. 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
  3. 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
  4. 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

莫尔圆与应力变换

圆心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主应力
σ1,2 = C ± R
主方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜截面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

方法

  1. 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
  2. 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
  4. 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

轴向应力与应变

正应力
σ = F/A
应变
ε = ΔL/L
胡克定律
σ = E·ε
伸长量
ΔL = FL/(EA)
热应变
εT = α·ΔT

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

机械振动

固有频率
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
由静挠度求
ωn = √(g/δst)
临界阻尼
cc = 2√(km) = 2mωn
阻尼比
ζ = c/cc
阻尼固有频率
ωd = ωn√(1 − ζ²)
对数衰减率
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联
k = k1 + k2
弹簧串联
1/k = 1/k1 + 1/k2

2练习题

1.齿轮与齿轮系中等
N1​ = 16N2​ = 32

一台 7.5 kW 的电动机以 1500 rpm 运转，驱动一个齿数为 16 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 32 的大齿轮啮合。 该齿轮副的效率为 98%。 求齿轮轴上的输出扭矩 T2。

P = 7.5 kWn1 = 1500 rpmN1 = 16N2 = 32η = 98%
T2 = N·m
2.齿轮与齿轮系困难
A = 36B = 40C = 40D = 60

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（36 齿）以 960 rpm 转动，驱动齿轮 B（40 齿）。齿轮 C（40 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（60 齿）。求输出转速 nout。

nin = 960 rpmA = 36B = 40C = 40D = 60
nout = rpm
3.轴的扭转中等
d1​ = 50 mmd2​ = 20 mmT = 200 N·mABC0.5 m1 m

一根阶梯形实心钢轴在 A 端固定。AB 段直径 50 mm，长 0.5 m；BC 段直径 20 mm，长 1 m。自由端 C 作用 200 N·m 的扭矩。 求端部 C 的扭转角 φC，以度表示。

T = 200 N·md1 = 50 mm, L1 = 0.5 md2 = 20 mm, L2 = 1 mG = 80 GPa
φC = °
4.轴的扭转困难
d = ?30 kW, 1000 rpm

一根实心黄铜轴在 1000 rpm 下传递 30 kW。切应力不得超过 75 MPa，每 m 长度的扭转角不得超过 1°。求同时满足两个限值的最小直径 d。

P = 30 kWN = 1000 rpmτallow = 75 MPaθallow = 1°/mG = 39 GPa
d = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
σx​ = 150σy​ = 40τxy​ = −10MPa

薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 150 MPa，σᵧ = 40 MPa，τₓᵧ = −10 MPa，σz = 0。求该点的绝对最大切应力 τabs（考虑三维中所有平面）。

σx = 150 MPaσy = 40 MPaτxy = −10 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
σx​τxy​轴的上表面

一根直径 20 mm 的实心轴承受100 N·m 的弯矩，同时承受 250 N·m 的扭矩。 在弯曲应力为拉应力且最大的上表面处， 求最大主应力 σ1。

d = 20 mmM = 100 N·mT = 250 N·m
σ1 = MPa
7.轴向应力与应变中等
P = ?12600 mm400 mmØ20Ø50δ = 0.4 mm

一根杆由一段钢（直径 20 mm，长 600 mm，E = 200 GPa）与一段黄铜（直径 50 mm，长 400 mm，E = 100 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.4 mm 的轴向载荷 P。

第 1 段: 钢, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPa第 2 段: 黄铜, Ø50 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0.4 mm
P = kN
8.轴向应力与应变困难
Ø 25 mm铜1 mØ 20 mm黄铜1.5 mP = 70 kN

阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。

P = 70 kN第 1 段：Ø25 mm，1 m，铜（E = 117 GPa）第 2 段：Ø20 mm，1.5 m，黄铜（E = 100 GPa）
σmax = MPa
9.柱的屈曲中等
PL = 2 m30 × 100 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 2 mE = 200 GPa (钢)b × h = 30 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
PL = 2 md = 50 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。

L = 2 mE = 200 GPa (钢)d = 50 mm
σcr = MPa
11.机械振动中等
k = 200 kN/mζ = 0.35m = 15 kg

一个 15 kg 的质量块挂在刚度为 200 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.35。求其自由振动的有阻尼固有频率 fd，以 Hz 计。

m = 15 kgk = 200 kN/mζ = 0.35
fd = Hz
12.机械振动困难
k1​ = 40k2​ = 20m = 100 kg

一个 100 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 40 kN/m，下弹簧 k₂ = 20 kN/m。 忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。

m = 100 kgk1 = 40 kN/mk2 = 20 kN/m
fn = Hz

3溶液

1.齿轮与齿轮系

答案: T2 = 93.58 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 7500/157.1 = 47.75 N·m

输出扭矩

T2 = 47.75·32/16·0.98 = 93.58 N·m

答案

T2 = 93.58 N·m
2.齿轮与齿轮系

答案: nout = 576 rpm

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

第一级

nB = 960·36/40 = 864 rpm = nC

第二级

nout = 864·40/60 = 576 rpm

答案

nout = 576 rpm

总传动比 = 1.667 : 1

3.轴的扭转

答案: φC = 9.236 °

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩

J1 = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
J2 = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

各段的扭转角

T = 200 N·m = 200000 N·mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 200000·500/(80000·613592) = 0.002037 rad
φBC = 200000·1000/(80000·15708) = 0.1592 rad

总扭转角

φC = 0.002037 + 0.1592 = 0.1612 rad = 9.236°

答案

φC = 9.236°
4.轴的扭转

答案: d = 45.5 mm

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 30000/104.7 = 286.5 N·m

按强度求直径

T = 286.5 N·m = 286479 N·mm
dτ = ∛(16·286479/(π·75)) = 26.89 mm

按刚度求直径

θ = 1·π/180/1000 = 1.745 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·286479/(π·39000·1.745 × 10⁻⁵))1/4 = 45.5 mm

控制直径

两个限值都必须满足，所以较大的直径起控制作用。

d = max(26.89, 45.5) = 45.5 mm

答案

d = 45.5 mm

这里由刚度控制。

5.莫尔圆与应力变换

答案: τabs = 75.45 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 在三维中，绝对最大切应力为三个主应力中 (σmax − σmin)/2；平面应力状态下第三个主应力为零。

στxyCσ1​σ2​

面内主应力

C = 95 MPa, R = √(55² + (−10)²) = 55.9 MPa
σ1 = 150.9 MPa, σ2 = 39.1 MPa, σz = 0

三个圆中最大的

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(111.8, 150.9, 39.1)/2 = 75.45 MPa

答案

τabs = 75.45 MPa

这里由面外的圆控制：绝对最大值大于面内最大值 R。

6.莫尔圆与应力变换

答案: σ1 = 235.1 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

表面处的应力

σ = 32M/(πd³) = 32·100000/(π·20³) = 127.3 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·20³) = 159.2 MPa
στxyCσ1​σ2​

莫尔圆

C = σ/2 = 63.66 MPa
R = √(63.66² + 159.2²) = 171.4 MPa
σ1 = C + R = 235.1 MPa
σ2 = C − R = −107.8 MPa

答案

σ1 = 235.1 MPa
7.轴向应力与应变

答案: P = 34.52 kN

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

A₁ = 314.2 mm², A₂ = 1963 mm²

柔度

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314.2) = 9.549 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·1963) = 2.037 × 10⁻⁶ mm/N

载荷

P = 0.4/1.159 × 10⁻⁵ = 34523 N = 34.52 kN

答案

P = 34.52 kN
8.轴向应力与应变

答案: σmax = 222.8 MPa

轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。

两段受力相同

自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。

A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 142.6 MPa
σ2 = 222.8 MPa

最大应力

较细的一段面积较小，因此应力较大。

σmax = 222.8 MPa

答案

σmax = 222.8 MPa
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 111 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

Imin = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

计算长度

KL = 1·2000 = 2000 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/2000² = 111033 N = 111 kN

答案

Pcr = 111 kN
10.柱的屈曲

答案: σcr = 77.11 MPa

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

回转半径和长细比

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 1·2000 = 2000 mm
KL/r = 2000/12.5 = 160

临界应力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/160² = 77.11 MPa

答案

σcr = 77.11 MPa
11.机械振动

答案: fd = 17.22 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ωn = √(200000/15) = 115.5 rad/s
fn = 115.5/(2π) = 18.38 Hz

有阻尼固有频率

fd = fn·√(1 − ζ²) = 18.38·√(1 − 0.35²) = 17.22 Hz

答案

fd = 17.22 Hz
12.机械振动

答案: fn = 1.838 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k1 + 1/k2。

1/keq = 1/40 + 1/20 → keq = 40·20/(40 + 20) = 13.33 kN/m

固有频率

ωn = √(13333/100) = 11.55 rad/s
fn = 11.55/(2π) = 1.838 Hz

答案

fn = 1.838 Hz

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