机械设计：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

齿轮与齿轮系

啮合齿轮
n1·N1 = n2·N2
扭矩
T2 = T1·(N2/N1)·η
功率
P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系
总传动比 = 各级传动比之积

轴的扭转

切应力
τ = T·r/J
实心轴
J = πd⁴/32
空心轴
J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角
φ = TL/(GJ)
功率
P = T·ω = 2πnT/60

方法

  1. 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
  2. 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
  3. 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
  4. 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

莫尔圆与应力变换

圆心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主应力
σ1,2 = C ± R
主方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜截面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

方法

  1. 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
  2. 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
  4. 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

轴向应力与应变

正应力
σ = F/A
应变
ε = ΔL/L
胡克定律
σ = E·ε
伸长量
ΔL = FL/(EA)
热应变
εT = α·ΔT

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

机械振动

固有频率
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
由静挠度求
ωn = √(g/δst)
临界阻尼
cc = 2√(km) = 2mωn
阻尼比
ζ = c/cc
阻尼固有频率
ωd = ωn√(1 − ζ²)
对数衰减率
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联
k = k1 + k2
弹簧串联
1/k = 1/k1 + 1/k2

2练习题

1.齿轮与齿轮系中等
Tw​ = ?z = 1, 2900 rpm

一台 0.75 kW、2900 rpm 的电动机驱动一个 1 头的蜗杆。蜗轮有 48 个齿，传动效率为 85%。求蜗轮轴上的输出转矩 Tw。

z = 1Nw = 48n = 2900 rpmP = 0.75 kWη = 85%
Tw = N·m
2.齿轮与齿轮系困难
A = 16B = 20C = 20D = ?

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（16 齿）以 1500 rpm 转动，驱动齿轮 B（20 齿）。齿轮 C（20 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D。输出轴须以 600 rpm 转动。齿轮 D 须有多少个齿 ND？

nin = 1500 rpmA = 16B = 20C = 20nout = 600 rpm
ND =
3.轴的扭转中等
d = 15 mmT = 75 N·m250 mmφ = 8.31°

在扭转试验中，一根直径 15 mm 的实心试件受 75 N·m 的扭矩作用。标距 250 mm 两端的相对转角为 8.31°（材料仍处于弹性范围）。求材料的切变模量 G。

T = 75 N·md = 15 mmL = 250 mmφ = 8.31°
G = GPa
4.轴的扭转困难
Tdo​ = 40 mm, di​ = 28 mm

一根空心轴在 3000 rpm 下传递 20 kW。求轴中的最大切应力 τmax。

P = 20 kWN = 3000 rpmdo = 40 mmdi = 28 mm
τmax = MPa
5.莫尔圆与应力变换中等
σx​ = 40σy​ = −60τxy​ = 40MPa

受载零件中某点的应力为 σₓ = 40 MPa，σᵧ = −60 MPa，τₓᵧ = 40 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。

σx = 40 MPaσy = −60 MPaτxy = 40 MPa
θp = °
6.莫尔圆与应力变换困难
σx​ = −30τxy​ = 20MPa

薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = −30 MPa，σᵧ = 0 MPa，τₓᵧ = 20 MPa（σz = 0）。 求冯·米塞斯等效应力 σvM。

σx = −30 MPaσy = 0 MPaτxy = 20 MPa
σvM = MPa
7.轴向应力与应变中等
Ø 10 mm铜3 mP = 90 kN

求铜杆在轴向荷载下的伸长量 δ。

P = 90 kNd = 10 mmL = 3 mE = 117 GPa
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
P = ?Ø4070 GPaØ80/60400 mm

一根钢杆（直径 40 mm，E = 200 GPa，许用应力 120 MPa）放在一根铝管（外径 80 mm，内径 60 mm，E = 70 GPa，许用应力 50 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 Pmax。

杆: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPa管: Ø80/Ø60 mm, E = 70 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
9.柱的屈曲中等
PL = 2.5 m25 × 50 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
PL = 1.5 md = 30 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。

L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)d = 30 mm
σcr = MPa
11.机械振动中等
k = 100 kN/mζ = 0.6m = 20 kg

一个 20 kg 的质量块挂在刚度为 100 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.6。求其自由振动的有阻尼固有频率 fd，以 Hz 计。

m = 20 kgk = 100 kN/mζ = 0.6
fd = Hz
12.机械振动困难
k1​ = 20k2​ = 5m = 50 kg

一个 50 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 20 kN/m，下弹簧 k₂ = 5 kN/m。 求弹簧系统的等效刚度 keq，以 kN/m 计。

m = 50 kgk1 = 20 kN/mk2 = 5 kN/m
keq = kN/m

3溶液

1.齿轮与齿轮系

答案: Tw = 100.8 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

蜗轮转速

nw = n·z/Nw = 2900·1/48 = 60.42 rpm

输出扭矩

ωw = 2π·60.42/60 = 6.327 rad/s
Tw = η·P/ωw = 0.85·750/6.327 = 100.8 N·m

答案

Tw = 100.8 N·m
2.齿轮与齿轮系

答案: ND = 40

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

中间轴转速

nB = nC = 1500·16/20 = 1200 rpm

齿轮 D 的齿数

ND = C·nC/nout = 20·1200/600 = 40

答案

ND = 40
3.轴的扭转

答案: G = 26.01 GPa

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩和角度

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴
φ = 8.31·π/180 = 0.145 rad

剪切模量

T = 75 N·m = 75000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 75000·250/(4970·0.145) = 26011 MPa
G = 26.01 GPa

答案

G = 26.01 GPa

作比较：钢 ≈ 80 GPa，黄铜 ≈ 39 GPa，铝 ≈ 26 GPa。

4.轴的扭转

答案: τmax = 6.667 MPa

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 20000/314.2 = 63.66 N·m

极惯性矩

J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴

最大切应力

τmax = T·(do/2)/J = 63662·20/190984 = 6.667 MPa

答案

τmax = 6.667 MPa
5.莫尔圆与应力变换

答案: θp = 19.33 °

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

στxyCσ1​σ2​

圆上的角度

在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。

2θp = atan2(2·40, 40 − −60) = 38.66°

单元体上的角度

θp = 19.33°

答案

θp = 19.33°

逆时针方向的角度为正。

6.莫尔圆与应力变换

答案: σvM = 45.83 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。

στxyCσ1​σ2​

主应力

C = −15 MPa, R = 25 MPa
σ1 = 10 MPa, σ2 = −40 MPa, σ3 = 0

冯·米塞斯

σvM = √(10² − 10·(−40) + (−40)²) = 45.83 MPa

答案

σvM = 45.83 MPa
7.轴向应力与应变

答案: δ = 29.38 mm

胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。

应力

A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 90·1000/78.54 = 1146 MPa

应变（胡克定律）

E for 铜 = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 1146/117000 = 0.009794 = 9794 µε

伸长量

δ = ε·L = 0.009794·3000 mm = 29.38 mm

答案

δ = 29.38 mm
8.轴向应力与应变

答案: Pmax = 243.2 kN

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

组合轴向刚度

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·2199 = 4.053 × 10⁸ N

控制应变

ε = min(0.0006, 0.0007143) = 0.0006 (钢)

最大载荷

Pmax = 0.0006·4.053 × 10⁸ = 243159 N = 243.2 kN

答案

Pmax = 243.2 kN
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 20.56 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

计算长度

KL = 1·2500 = 2500 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/2500² = 20562 N = 20.56 kN

答案

Pcr = 20.56 kN
10.柱的屈曲

答案: σcr = 49.35 MPa

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

回转半径和长细比

A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 1·1500 = 1500 mm
KL/r = 1500/7.5 = 200

临界应力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49.35 MPa

答案

σcr = 49.35 MPa
11.机械振动

答案: fd = 9.003 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ωn = √(100000/20) = 70.71 rad/s
fn = 70.71/(2π) = 11.25 Hz

有阻尼固有频率

fd = fn·√(1 − ζ²) = 11.25·√(1 − 0.6²) = 9.003 Hz

答案

fd = 9.003 Hz
12.机械振动

答案: keq = 4 kN/m

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k1 + 1/k2。

1/keq = 1/20 + 1/5 → keq = 20·5/(20 + 5) = 4 kN/m

答案

keq = 4 kN/m

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