齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 5.5 kW 的电动机以 960 rpm 运转，驱动一个齿数为 30 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 40 的大齿轮啮合。 该齿轮副的效率为 98%。 求电动机轴上的扭矩 T1。
P = 5.5 kWn1 = 960 rpmN1 = 30N2 = 40η = 98%
T1 = N·m
2.齿轮与齿轮系困难
在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（18 齿）以 3000 rpm 转动，驱动齿轮 B（50 齿）。齿轮 C（25 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D。输出轴须以 562.5 rpm 转动。齿轮 D 须有多少个齿 ND？
nin = 3000 rpmA = 18B = 50C = 25nout = 562.5 rpm
ND =
3.轴的扭转中等
一根铝实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 200 N·md = 50 mmL = 2 mG = 26 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根直径 60 mm 的实心黄铜轴在 A 端固定。距 A 1.2 m 的 B 处作用 100 N·m 的扭矩，再往前 0.5 m 的自由端 C 处作用一个反向的 2000 N·m 扭矩。 求轴中的最大切应力 τmax。
d = 60 mmTB = 100 N·mTC = 2000 N·mAB = 1.2 mBC = 0.5 m
τmax = MPa
5.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = −10 MPa，σᵧ = −60 MPa，τₓᵧ = −20 MPa（拉为正）。 求面内最大切应力 τmax。
σx = −10 MPaσy = −60 MPaτxy = −20 MPa
τmax = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 60 MPa，σᵧ = 50 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴顺时针转过 45° 的截面上的正应力 σθ。
σx = 60 MPaσy = 50 MPaτxy = 30 MPaθ = -45°
σθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
求铜杆在轴向荷载下的伸长量 δ。
P = 65 kNd = 25 mmL = 2.5 mE = 117 GPa
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
一段钢（直径 40 mm，长 600 mm，E = 200 GPa）与一段铝（直径 30 mm，长 300 mm，E = 70 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 40 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。
第 1 段: 钢, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铝, Ø30 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 40 kN
σ2 = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 35 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。
P = 35 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.机械振动中等
在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 10 mm 之后 4 个周期出现峰值 2.8 mm。 求阻尼比 ζ。
x0 = 10 mmx4 = 2.8 mmn = 4
ζ =
12.机械振动困难
一个 20 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 50 kN/m，下弹簧 k₂ = 50 kN/m。 求弹簧系统的等效刚度 keq，以 kN/m 计。
m = 20 kgk1 = 50 kN/mk2 = 50 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: T1 = 54.71 N·m
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
电动机扭矩
ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 5500/100.5 = 54.71 N·m
答案
T1 = 54.71 N·m
2.齿轮与齿轮系
答案: ND = 48
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
中间轴转速
nB = nC = 3000·18/50 = 1080 rpm
齿轮 D 的齿数
ND = C·nC/nout = 25·1080/562.5 = 48
答案
ND = 48
3.轴的扭转
答案: φ = 1.437 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 200·1000·2000/(26000·613592) = 0.02507 rad
φ = 0.02507·180/π = 1.437°
答案
φ = 1.437°
4.轴的扭转
答案: τmax = 47.16 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
内扭矩
取 TC 的转向为正。
TBC = TC = 2000 N·m
TAB = TC − TB = 2000 − 100 = 1900 N·m
最大切应力
内扭矩最大的一段应力最大（直径相同）。
|T|max = 2000 N·m
τmax = 16·2 × 10⁶/(π·60³) = 47.16 MPa
答案
τmax = 47.16 MPa
5.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 32.02 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
莫尔圆半径
τmax = R = √(((−10 − −60)/2)² + −20²) = 32.02 MPa
答案
τmax = 32.02 MPa
6.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = 25 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = 55 + 5·0 + 30·−1 = 25 MPa
答案
σθ = 25 MPa
7.轴向应力与应变
答案: δ = 2.829 mm
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 65·1000/490.9 = 132.4 MPa
应变（胡克定律）
E for 铜 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 132.4/117000 = 0.001132 = 1132 µε
伸长量
δ = ε·L = 0.001132·2500 mm = 2.829 mm
答案
δ = 2.829 mm
8.轴向应力与应变
答案: σ2 = 15.99 MPa
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
刚度
k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm
k₂ = 70000·706.9/300 = 164934 N/mm
第 2 段的份额
F2 = 40000·164934/583813 = 11300 N
应力
σ2 = 11300/706.9 = 15.99 MPa （压缩）
答案
σ2 = 15.99 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 4.998 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴
计算长度
KL = 2·1500 = 3000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/3000² = 4998 N = 4.998 kN
答案
Pcr = 4.998 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 91.26 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 3·35000 = 105000 N
KL = 2·4000 = 8000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·105000·8000²/(π³·200000))^(1/4) = 91.26 mm
答案
d = 91.26 mm
校核：长细比 KL/r 为 350.7，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: ζ = 0.05058
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
对数衰减率
δ = (1/4)·ln(10/2.8) = 0.3182
阻尼比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3182/√(39.48 + 0.1013) = 0.05058
答案
ζ = 0.05058
12.机械振动
答案: keq = 25 kN/m
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/50 + 1/50 → keq = 50·50/(50 + 50) = 25 kN/m
答案
keq = 25 kN/m
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