齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 1.1 kW、转速 2900 rpm 的电动机驱动一个齿数为 24、模数为 2.5 mm 的小齿轮。求小齿轮齿上的切向力 Ft。
P = 1.1 kWn = 2900 rpmN1 = 24m = 2.5 mm
Ft = N
2.齿轮与齿轮系困难
一条开口皮带连接一个 80 mm 的带轮和一个 250 mm 的带轮，二者中心相距 1000 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。
d1 = 80 mmd2 = 250 mmC = 1000 mm
θ = °
3.轴的扭转中等
在扭转试验中，一根直径 20 mm 的实心试件受 100 N·m 的扭矩作用。标距 200 mm 两端的相对转角为 1.87°（材料仍处于弹性范围）。求材料的切变模量 G。
T = 100 N·md = 20 mmL = 200 mmφ = 1.87°
G = GPa
4.轴的扭转困难
一根空心轴在 300 rpm 下传递 15 kW。求轴中的最大切应力 τmax。
P = 15 kWN = 300 rpmdo = 40 mmdi = 30 mm
τmax = MPa
5.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = 110 MPa、σᵧ = 90 MPa。在最大主应力达到 165 MPa 之前，切应力 τxy（大小）最大可以是多少？
σx = 110 MPaσy = 90 MPaσ1 = 165 MPa
τxy = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 160 MPa，σᵧ = 80 MPa，τₓᵧ = −50 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 15° 的截面上的切应力 τθ（正方向与 τₓᵧ 相同）。
σx = 160 MPaσy = 80 MPaτxy = −50 MPaθ = 15°
τθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
一根钢杆（直径 30 mm，E = 200 GPa）放在一根铝管（外径 120 mm，内径 60 mm，E = 70 GPa）内。二者长度均为 400 mm，在刚性板之间被 100 kN 的力一起压缩。 求缩短量 δ。
P = 100 kN杆: Ø30 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 400 mm
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
一根钢杆（直径 40 mm，E = 200 GPa，许用应力 160 MPa）放在一根铜管（外径 80 mm，内径 50 mm，E = 120 GPa，许用应力 70 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 Pmax。
杆: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 160 MPa管: Ø80/Ø50 mm, E = 120 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 3 mE = 200 GPa (钢)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 150 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。
P = 150 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.机械振动中等
一个 50 kg 的质量块由刚度为 100 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 450 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。
m = 50 kgk = 100 kN/mc = 450 N·s/m
ζ =
12.机械振动困难
一个 25 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 12 kN/m 和 k₂ = 60 kN/m。质量块保持水平。 忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 25 kgk1 = 12 kN/mk2 = 60 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: Ft = 120.7 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
小齿轮上的转矩
ω = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s
T = P/ω = 1100/303.7 = 3.622 N·m
分度圆直径
d = m·N = 2.5·24 = 60 mm
切向力
Ft = 2T/d = 2·3.622/0.06 = 120.7 N
答案
Ft = 120.7 N
2.齿轮与齿轮系
答案: θ = 170.2 °
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
皮带角
asin(0.085) = 4.876°
包角
θ = 180 − 2·4.876 = 170.2°
答案
θ = 170.2°
3.轴的扭转
答案: G = 39.01 GPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩和角度
J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
φ = 1.87·π/180 = 0.03264 rad
剪切模量
T = 100 N·m = 100000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 100000·200/(15708·0.03264) = 39011 MPa
G = 39.01 GPa
答案
G = 39.01 GPa
作比较：钢 ≈ 80 GPa，黄铜 ≈ 39 GPa，铝 ≈ 26 GPa。
4.轴的扭转
答案: τmax = 55.58 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 15000/31.42 = 477.5 N·m
极惯性矩
J = π(40⁴ − 30⁴)/32 = 171806 mm⁴
最大切应力
τmax = T·(do/2)/J = 477465·20/171806 = 55.58 MPa
答案
τmax = 55.58 MPa
5.莫尔圆与应力变换
答案: τxy = 64.23 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
所需半径
C = (110 + 90)/2 = 100 MPa
R = σ1 − C = 165 − 100 = 65 MPa
切应力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(65² − 10²) = 64.23 MPa
答案
τxy = 64.23 MPa
6.莫尔圆与应力变换
答案: τθ = −63.3 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
τθ = −40·0.5 + −50·0.866 = −63.3 MPa
答案
τθ = −63.3 MPa
7.轴向应力与应变
答案: δ = 0.05441 mm
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·706.9 + 70·10³·8482 = 7.351 × 10⁸ N
缩短量
δ = 100000·400/7.351 × 10⁸ = 0.05441 mm
答案
δ = 0.05441 mm
8.轴向应力与应变
答案: Pmax = 361 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·3063 = 6.189 × 10⁸ N
控制应变
ε = min(0.0008, 0.0005833) = 0.0005833 (铜)
最大载荷
Pmax = 0.0005833·6.189 × 10⁸ = 361021 N = 361 kN
答案
Pmax = 361 kN
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 29.14 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/2100² = 29141 N = 29.14 kN
答案
Pcr = 29.14 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 92.84 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 3·150000 = 450000 N
KL = 2·2000 = 4000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·450000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 92.84 mm
答案
d = 92.84 mm
校核：长细比 KL/r 为 172.3，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: ζ = 0.1006
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
临界阻尼
cc = 2·√(k·m) = 2·√(100000·50) = 4472 N·s/m
阻尼比
ζ = c/cc = 450/4472 = 0.1006
答案
ζ = 0.1006
ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。
12.机械振动
答案: fn = 8.541 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k1 + k2。
keq = 12 + 60 = 72 kN/m
固有频率
ωn = √(72000/25) = 53.67 rad/s
fn = 53.67/(2π) = 8.541 Hz
答案
fn = 8.541 Hz
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