齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
两根平行轴相距 67.5 mm。须用一对模数为 1.5 mm、减速比为 3.5 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。 小齿轮须有多少个齿 N1？
a = 67.5 mmm = 1.5 mmi = 3.5
N1 =
2.齿轮与齿轮系困难
一条开口皮带连接一个 120 mm 的带轮和一个 400 mm 的带轮，二者中心相距 600 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。
d1 = 120 mmd2 = 400 mmC = 600 mm
θ = °
3.轴的扭转中等
一根铝实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 1000 N·md = 40 mmL = 0.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根直径 50 mm 的实心黄铜轴在 A 端固定。距 A 1 m 的 B 处作用 250 N·m 的扭矩，再往前 3 m 的自由端 C 处作用一个同向的 400 N·m 扭矩。 求端部 C 扭转角 φC 的大小，以度表示。
d = 50 mmTB = 250 N·mTC = 400 N·mAB = 1 mBC = 3 mG = 39 GPa
φC = °
5.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = 60 MPa、σᵧ = 60 MPa。在最大主应力达到 95 MPa 之前，切应力 τxy（大小）最大可以是多少？
σx = 60 MPaσy = 60 MPaσ1 = 95 MPa
τxy = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = −60 MPa，σᵧ = 40 MPa，τₓᵧ = −30 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴顺时针转过 30° 的截面上的切应力 τθ（正方向与 τₓᵧ 相同）。
σx = −60 MPaσy = 40 MPaτxy = −30 MPaθ = -30°
τθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
一根钢杆（直径 30 mm，E = 200 GPa）放在一根黄铜管（外径 80 mm，内径 50 mm，E = 100 GPa）内。二者长度均为 300 mm，在刚性板之间被 50 kN 的力一起压缩。 求缩短量 δ。
P = 50 kN杆: Ø30 mm, E = 200 GPa管: Ø80/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 300 mm
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
一根钢杆（直径 25 mm，E = 200 GPa，许用应力 250 MPa）放在一根铜管（外径 100 mm，内径 60 mm，E = 120 GPa，许用应力 80 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 Pmax。
杆: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPa管: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 30 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)d = 80 mm
σcr = MPa
11.机械振动中等
在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 12 mm 之后一个周期出现峰值 10.6 mm。 求阻尼比 ζ。
x0 = 12 mmx1 = 10.6 mmn = 1
ζ =
12.机械振动困难
一个 10 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 80 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 10 kN/m 和 k₂ = 80 kN/m 悬挂；杆保持水平。 忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 10 kgk1 = 10 kN/mk2 = 80 kN/mk3 = 80 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: N1 = 20
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
总齿数
N1 + N2 = 2a/m = 2·67.5/1.5 = 90
按传动比分配
N1 = 90/(1 + 3.5) = 20
答案
N1 = 20
2.齿轮与齿轮系
答案: θ = 153 °
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
皮带角
asin(0.2333) = 13.49°
包角
θ = 180 − 2·13.49 = 153°
答案
θ = 153°
3.轴的扭转
答案: φ = 4.384 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 1000·1000·500/(26000·251327) = 0.07652 rad
φ = 0.07652·180/π = 4.384°
答案
φ = 4.384°
4.轴的扭转
答案: φC = 4.429 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
内扭矩
取 TC 的转向为正。
TBC = TC = 400 N·m
TAB = TC + TB = 400 + 250 = 650 N·m
各段的扭转角
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = 650000·1000/(39000·613592) = 0.02716 rad
φBC = 400000·3000/(39000·613592) = 0.05015 rad
端部 C 的扭转角
φC = 0.02716 + 0.05015 = 0.07731 rad → |φC| = 4.429°
答案
φC = 4.429°
5.莫尔圆与应力变换
答案: τxy = 35 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
所需半径
C = (60 + 60)/2 = 60 MPa
R = σ1 − C = 95 − 60 = 35 MPa
切应力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(35² − 0²) = 35 MPa
答案
τxy = 35 MPa
6.莫尔圆与应力变换
答案: τθ = −58.3 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
τθ = −−50·−0.866 + −30·0.5 = −58.3 MPa
答案
τθ = −58.3 MPa
7.轴向应力与应变
答案: δ = 0.03351 mm
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·706.9 + 100·10³·3063 = 4.477 × 10⁸ N
缩短量
δ = 50000·300/4.477 × 10⁸ = 0.03351 mm
答案
δ = 0.03351 mm
8.轴向应力与应变
答案: Pmax = 467.6 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·490.9 + 120·10³·5027 = 7.014 × 10⁸ N
控制应变
ε = min(0.00125, 0.0006667) = 0.0006667 (铜)
最大载荷
Pmax = 0.0006667·7.014 × 10⁸ = 467574 N = 467.6 kN
答案
Pmax = 467.6 kN
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 42.64 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/2500² = 42637 N = 42.64 kN
答案
Pcr = 42.64 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 11.05 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
回转半径和长细比
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 2·2500 = 5000 mm
KL/r = 5000/20 = 250
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/250² = 11.05 MPa
答案
σcr = 11.05 MPa
11.机械振动
答案: ζ = 0.01974
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
对数衰减率
δ = (1/1)·ln(12/10.6) = 0.1241
阻尼比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1241/√(39.48 + 0.01539) = 0.01974
答案
ζ = 0.01974
12.机械振动
答案: fn = 10.36 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
只有 k1 和 k2 是并联的。这一对与 k3 串联，所以要按倒数组合。
k12 = 10 + 80 = 90 kN/m
keq = 90·80/(90 + 80) = 42.35 kN/m
固有频率
ωn = √(42353/10) = 65.08 rad/s
fn = 65.08/(2π) = 10.36 Hz
答案
fn = 10.36 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design