齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 2.2 kW 的电动机以 2900 rpm 运转，驱动一个齿数为 60 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 80 的大齿轮啮合。 该齿轮副的效率为 98%。 求电动机轴上的扭矩 T1。
P = 2.2 kWn1 = 2900 rpmN1 = 60N2 = 80η = 98%
T1 = N·m
2.齿轮与齿轮系困难
在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（25 齿）以 3000 rpm 转动，驱动齿轮 B（48 齿）。齿轮 C（48 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D。输出轴须以 1250 rpm 转动。齿轮 D 须有多少个齿 ND？
nin = 3000 rpmA = 25B = 48C = 48nout = 1250 rpm
ND =
3.轴的扭转中等
一根黄铜实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 250 N·md = 40 mmL = 1.2 mG = 39 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根空心轴在 300 rpm 下传递 30 kW。求轴中的最大切应力 τmax。
P = 30 kWN = 300 rpmdo = 100 mmdi = 50 mm
τmax = MPa
5.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 160 MPa，σᵧ = −80 MPa，τₓᵧ = −10 MPa（拉为正）。 求面内最大切应力 τmax。
σx = 160 MPaσy = −80 MPaτxy = −10 MPa
τmax = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 10 MPa，σᵧ = −10 MPa，τₓᵧ = −20 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 35° 的截面上的正应力 σθ。
σx = 10 MPaσy = −10 MPaτxy = −20 MPaθ = 35°
σθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
求铝杆在轴向荷载下的伸长量 δ。
P = 75 kNd = 30 mmL = 2.5 mE = 70 GPa
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 55 kN第 1 段：Ø40 mm，1 m，铜（E = 117 GPa）第 2 段：Ø12 mm，1 m，黄铜（E = 100 GPa）
δ = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 4 mE = 200 GPa (钢)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端铰接。它需承受 40 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。
P = 40 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.机械振动中等
在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 10 mm 之后 4 个周期出现峰值 0.5 mm。 求阻尼比 ζ。
x0 = 10 mmx4 = 0.5 mmn = 4
ζ =
12.机械振动困难
一个 100 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 12 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 60 kN/m 和 k₂ = 15 kN/m 悬挂；杆保持水平。 忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 100 kgk1 = 60 kN/mk2 = 15 kN/mk3 = 12 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: T1 = 7.244 N·m
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
电动机扭矩
ω₁ = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s
T1 = P/ω₁ = 2200/303.7 = 7.244 N·m
答案
T1 = 7.244 N·m
2.齿轮与齿轮系
答案: ND = 60
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
中间轴转速
nB = nC = 3000·25/48 = 1563 rpm
齿轮 D 的齿数
ND = C·nC/nout = 48·1563/1250 = 60
答案
ND = 60
3.轴的扭转
答案: φ = 1.754 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 250·1000·1200/(39000·251327) = 0.03061 rad
φ = 0.03061·180/π = 1.754°
答案
φ = 1.754°
4.轴的扭转
答案: τmax = 5.188 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 30000/31.42 = 954.9 N·m
极惯性矩
J = π(100⁴ − 50⁴)/32 = 9.204 × 10⁶ mm⁴
最大切应力
τmax = T·(do/2)/J = 954930·50/9.204 × 10⁶ = 5.188 MPa
答案
τmax = 5.188 MPa
5.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 120.4 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
莫尔圆半径
τmax = R = √(((160 − −80)/2)² + −10²) = 120.4 MPa
答案
τmax = 120.4 MPa
6.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = −15.37 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = 0 + 10·0.342 + −20·0.9397 = −15.37 MPa
答案
σθ = −15.37 MPa
7.轴向应力与应变
答案: δ = 3.789 mm
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 75·1000/706.9 = 106.1 MPa
应变（胡克定律）
E for 铝 = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 106.1/70000 = 0.001516 = 1516 µε
伸长量
δ = ε·L = 0.001516·2500 mm = 3.789 mm
答案
δ = 3.789 mm
8.轴向应力与应变
答案: δ = 5.237 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 43.77 MPa
σ2 = 486.3 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 43.77·1000/117000 = 0.3741 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 486.3·1000/100000 = 4.863 mm
δ = δ1 + δ2 = 5.237 mm
答案
δ = 5.237 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 16.45 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/2000² = 16449 N = 16.45 kN
答案
Pcr = 16.45 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 50.4 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2.5·40000 = 100000 N
KL = 1·2500 = 2500 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 50.4 mm
答案
d = 50.4 mm
校核：长细比 KL/r 为 198.4，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: ζ = 0.1184
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
对数衰减率
δ = (1/4)·ln(10/0.5) = 0.7489
阻尼比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.7489/√(39.48 + 0.5609) = 0.1184
答案
ζ = 0.1184
12.机械振动
答案: fn = 1.619 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
只有 k1 和 k2 是并联的。这一对与 k3 串联，所以要按倒数组合。
k12 = 60 + 15 = 75 kN/m
keq = 75·12/(75 + 12) = 10.34 kN/m
固有频率
ωn = √(10345/100) = 10.17 rad/s
fn = 10.17/(2π) = 1.619 Hz
答案
fn = 1.619 Hz
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