齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 7.5 kW 的电动机以 1450 rpm 运转，驱动一个齿数为 36 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 60 的大齿轮啮合。 该齿轮副的效率为 97%。 求齿轮轴上的输出扭矩 T2。
P = 7.5 kWn1 = 1450 rpmN1 = 36N2 = 60η = 97%
T2 = N·m
2.齿轮与齿轮系困难
在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（30 齿）以 960 rpm 转动，驱动齿轮 B（60 齿）。齿轮 C（15 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（72 齿）。求输出转速 nout。
nin = 960 rpmA = 30B = 60C = 15D = 72
nout = rpm
3.轴的扭转中等
在扭转试验中，一根直径 12 mm 的实心试件受 100 N·m 的扭矩作用。标距 200 mm 两端的相对转角为 14.43°（材料仍处于弹性范围）。求材料的切变模量 G。
T = 100 N·md = 12 mmL = 200 mmφ = 14.43°
G = GPa
4.轴的扭转困难
一根直径 40 mm 的实心铝轴两端 A 和 B 都固定在刚性墙上。在距 A 1.2 m、距 B 3 m 的 C 处施加 400 N·m 的扭矩。 求轴中的最大切应力 τmax。
d = 40 mmT0 = 400 N·ma = 1.2 mb = 3 m
τmax = MPa
5.莫尔圆与应力变换中等
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 70 MPa，σᵧ = 60 MPa，τₓᵧ = 20 MPa，σz = 0。求该点的绝对最大切应力 τabs（考虑三维中所有平面）。
σx = 70 MPaσy = 60 MPaτxy = 20 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
一个薄壁圆柱形储罐，内径 400 mm，壁厚 8 mm，所盛气体的表压为 1.5 MPa。它由钢板沿与圆柱轴线成 55° 的螺旋焊缝焊接而成。 求沿焊缝作用的切应力 |τn| 的大小。
D = 400 mmt = 8 mmp = 1.5 MPaα = 55°
|τn| = MPa
7.轴向应力与应变中等
一根钢杆（直径 30 mm，E = 200 GPa）放在一根青铜管（外径 120 mm，内径 60 mm，E = 110 GPa）内。二者长度均为 500 mm，在刚性板之间被 150 kN 的力一起压缩。 求缩短量 δ。
P = 150 kN杆: Ø30 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 500 mm
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 120 kN第 1 段：Ø30 mm，0.5 m，钢（E = 200 GPa）第 2 段：Ø20 mm，2 m，铝（E = 70 GPa）
δ = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)d = 40 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 30 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。
P = 30 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (铝)
d = mm
11.机械振动中等
一个 80 kg 的质量块挂在刚度为 8 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.35。求其自由振动的有阻尼固有频率 fd，以 Hz 计。
m = 80 kgk = 8 kN/mζ = 0.35
fd = Hz
12.机械振动困难
一个 5 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 80 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 12 kN/m 和 k₂ = 12 kN/m 悬挂；杆保持水平。 忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 5 kgk1 = 12 kN/mk2 = 12 kN/mk3 = 80 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: T2 = 79.85 N·m
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
电动机扭矩
ω₁ = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 7500/151.8 = 49.39 N·m
输出扭矩
T2 = 49.39·60/36·0.97 = 79.85 N·m
答案
T2 = 79.85 N·m
2.齿轮与齿轮系
答案: nout = 100 rpm
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
第一级
nB = 960·30/60 = 480 rpm = nC
第二级
nout = 480·15/72 = 100 rpm
答案
nout = 100 rpm
总传动比 = 9.6 : 1
3.轴的扭转
答案: G = 39.01 GPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩和角度
J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴
φ = 14.43·π/180 = 0.2519 rad
剪切模量
T = 100 N·m = 100000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 100000·200/(2036·0.2519) = 39009 MPa
G = 39.01 GPa
答案
G = 39.01 GPa
作比较：钢 ≈ 80 GPa，黄铜 ≈ 39 GPa，铝 ≈ 26 GPa。
4.轴的扭转
答案: τmax = 22.74 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。 两端都固定时，仅靠静力学只能得到 TA + TB = T₀；第二个方程是变形协调条件（两部分在受荷截面处的扭转角相等）。
平衡和变形协调
TA + TB = 400
TA·a = TB·b
TA = 400·3/4.2 = 285.7 N·m
TB = 400·1.2/4.2 = 114.3 N·m
最大切应力
两个扭矩中较大者起控制作用（直径相同）。
τmax = 16·285714/(π·40³) = 22.74 MPa
答案
τmax = 22.74 MPa
5.莫尔圆与应力变换
答案: τabs = 42.81 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 在三维中，绝对最大切应力为三个主应力中 (σmax − σmin)/2；平面应力状态下第三个主应力为零。
面内主应力
C = 65 MPa, R = √(5² + 20²) = 20.62 MPa
σ1 = 85.62 MPa, σ2 = 44.38 MPa, σz = 0
三个圆中最大的
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(41.23, 85.62, 44.38)/2 = 42.81 MPa
答案
τabs = 42.81 MPa
这里由面外的圆控制：绝对最大值大于面内最大值 R。
6.莫尔圆与应力变换
答案: |τn| = 8.81 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 薄壁圆筒：环向应力 σh = pr/t，轴向应力 σa = pr/(2t)；它们就是筒壁中的主应力。
筒壁应力
r = 400/2 = 200 mm
σh = pr/t = 1.5·200/8 = 37.5 MPa
σa = pr/(2t) = 18.75 MPa
变换到焊缝
取 x 沿轴线 (σa)，y 沿环向 (σh)。焊缝的法线与轴线成 90° − α。
|τn| = (37.5 − 18.75)·sin 55°·cos 55° = 8.81 MPa
答案
|τn| = 8.81 MPa
7.轴向应力与应变
答案: δ = 0.0698 mm
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·706.9 + 110·10³·8482 = 1.074 × 10⁹ N
缩短量
δ = 150000·500/1.074 × 10⁹ = 0.0698 mm
答案
δ = 0.0698 mm
8.轴向应力与应变
答案: δ = 11.34 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 169.8 MPa
σ2 = 382 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 169.8·500/200000 = 0.4244 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 382·2000/70000 = 10.91 mm
δ = δ1 + δ2 = 11.34 mm
答案
δ = 11.34 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 55.56 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/1250² = 55563 N = 55.56 kN
答案
Pcr = 55.56 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 89.33 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2·30000 = 60000 N
KL = 2·3000 = 6000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 89.33 mm
答案
d = 89.33 mm
校核：长细比 KL/r 为 268.7，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: fd = 1.491 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
无阻尼固有频率
ωn = √(8000/80) = 10 rad/s
fn = 10/(2π) = 1.592 Hz
有阻尼固有频率
fd = fn·√(1 − ζ²) = 1.592·√(1 − 0.35²) = 1.491 Hz
答案
fd = 1.491 Hz
12.机械振动
答案: fn = 9.671 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
只有 k1 和 k2 是并联的。这一对与 k3 串联，所以要按倒数组合。
k12 = 12 + 12 = 24 kN/m
keq = 24·80/(24 + 80) = 18.46 kN/m
固有频率
ωn = √(18462/5) = 60.76 rad/s
fn = 60.76/(2π) = 9.671 Hz
答案
fn = 9.671 Hz
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