齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一条皮带绕在一个以 1450 rpm 转动、直径 80 mm 的主动轮上。紧边张力为 1000 N，松边张力为 400 N。求传递的功率 P，单位 kW。
d1 = 80 mmn1 = 1450 rpmT1 = 1000 NT2 = 400 N
P = kW
2.齿轮与齿轮系困难
在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（60 齿）以 3000 rpm 转动，驱动齿轮 B（72 齿）。齿轮 C（18 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D。输出轴须以 750 rpm 转动。齿轮 D 须有多少个齿 ND？
nin = 3000 rpmA = 60B = 72C = 18nout = 750 rpm
ND =
3.轴的扭转中等
一根钢实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 750 N·md = 25 mmL = 0.8 mG = 80 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根实心钢轴在 750 rpm 下传递 50 kW。切应力不得超过 50 MPa，每 m 长度的扭转角不得超过 1°。求同时满足两个限值的最小直径 d。
P = 50 kWN = 750 rpmτallow = 50 MPaθallow = 1°/mG = 80 GPa
d = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = 20 MPa、σᵧ = 10 MPa、τₓᵧ = −20 MPa（拉为正）。求从 x 轴到某平面法线的角度 θs（在 −90° 到 90° 之间），该平面上的切应力达到最大正值 +R（切应力与 τₓᵧ 同向为正）。
σx = 20 MPaσy = 10 MPaτxy = −20 MPa
θs = °
6.莫尔圆与应力变换困难
一根直径 60 mm 的实心轴承受750 N·m 的弯矩，同时承受 500 N·m 的扭矩。 在弯曲应力为拉应力且最大的上表面处， 求最大主应力 σ1。
d = 60 mmM = 750 N·mT = 500 N·m
σ1 = MPa
7.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 20 mm，长 600 mm，E = 200 GPa）与一段铜（直径 30 mm，长 400 mm，E = 120 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.2 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铜, Ø30 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0.2 mm
P = kN
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 75 kN第 1 段：Ø35 mm，2 m，铜（E = 117 GPa）第 2 段：Ø20 mm，0.5 m，铝（E = 70 GPa）
δ = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 5 mE = 200 GPa (钢)d = 60 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 40 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。
P = 40 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.机械振动中等
一个 8 kg 的质量块由刚度为 80 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 400 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。
m = 8 kgk = 80 kN/mc = 400 N·s/m
ζ =
12.机械振动困难
一个 100 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 20 kN/m，下弹簧 k₂ = 30 kN/m。 求弹簧系统的等效刚度 keq，以 kN/m 计。
m = 100 kgk1 = 20 kN/mk2 = 30 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: P = 3.644 kW
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
皮带速度
v = 6.074 m/s
功率
P = (1000 − 400)·6.074 = 3644 W = 3.644 kW
答案
P = 3.644 kW
2.齿轮与齿轮系
答案: ND = 60
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
中间轴转速
nB = nC = 3000·60/72 = 2500 rpm
齿轮 D 的齿数
ND = C·nC/nout = 18·2500/750 = 60
答案
ND = 60
3.轴的扭转
答案: φ = 11.21 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 750·1000·800/(80000·38350) = 0.1956 rad
φ = 0.1956·180/π = 11.21°
答案
φ = 11.21°
4.轴的扭转
答案: d = 46.42 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 50000/78.54 = 636.6 N·m
按强度求直径
T = 636.6 N·m = 636620 N·mm
dτ = ∛(16·636620/(π·50)) = 40.18 mm
按刚度求直径
θ = 1·π/180/1000 = 1.745 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·636620/(π·80000·1.745 × 10⁻⁵))1/4 = 46.42 mm
控制直径
两个限值都必须满足，所以较大的直径起控制作用。
d = max(40.18, 46.42) = 46.42 mm
答案
d = 46.42 mm
这里由刚度控制。
5.莫尔圆与应力变换
答案: θs = −82.98 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，最高点 (+R) 与主应力点 σ₁ 相差 90°；在单元体上为 45°。
cos 2θs = −20/20.62 = −0.9701, sin 2θs = −5/20.62 = −0.2425
2θs = atan2(−5, −20) = −166°
单元体上的角度
θs = −82.98°
校核: θs − θp = −82.98 − (−37.98) = −45°
答案
θs = −82.98°
逆时针方向的角度为正。
6.莫尔圆与应力变换
答案: σ1 = 38.94 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
表面处的应力
σ = 32M/(πd³) = 32·750000/(π·60³) = 35.37 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·60³) = 11.79 MPa
莫尔圆
C = σ/2 = 17.68 MPa
R = √(17.68² + 11.79²) = 21.25 MPa
σ1 = C + R = 38.94 MPa
σ2 = C − R = −3.569 MPa
答案
σ1 = 38.94 MPa
7.轴向应力与应变
答案: P = 14.02 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 314.2 mm², A₂ = 706.9 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314.2) = 9.549 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·706.9) = 4.716 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.2/1.426 × 10⁻⁵ = 14020 N = 14.02 kN
答案
P = 14.02 kN
8.轴向应力与应变
答案: δ = 3.038 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 77.95 MPa
σ2 = 238.7 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 77.95·2000/117000 = 1.333 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 238.7·500/70000 = 1.705 mm
δ = δ1 + δ2 = 3.038 mm
答案
δ = 3.038 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 200.9 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2500² = 200921 N = 200.9 kN
答案
Pcr = 200.9 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 68.37 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 3·40000 = 120000 N
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 68.37 mm
答案
d = 68.37 mm
校核：长细比 KL/r 为 245.7，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: ζ = 0.25
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
临界阻尼
cc = 2·√(k·m) = 2·√(80000·8) = 1600 N·s/m
阻尼比
ζ = c/cc = 400/1600 = 0.25
答案
ζ = 0.25
ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。
12.机械振动
答案: keq = 12 kN/m
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/20 + 1/30 → keq = 20·30/(20 + 30) = 12 kN/m
答案
keq = 12 kN/m
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